酉空间的幺正矩阵对应欧几里得空间的正交矩阵。
酉空间的厄密矩阵对应欧几里得空间的实对称矩阵。
一、正交和幺正
1. 正交矩阵（orthogonal matrix）
正交矩阵定义[1,2]：
，即
。
性质：正交矩阵的行（列）向量组是欧几里得空间的标准正交向量组。
2. 幺正矩阵（unitary matrix）
幺正矩阵（酉矩阵）定义[1,3]：
，即
性质：幺正矩阵的行（列）向量组是酉空间的标准正交向量组。
二、实对称和厄密
1. 实对称矩阵（real symmetric matrix）
实对称矩阵定义[1,4]：
性质1：实对称矩阵的特征值都是实数。
性质2：对于实对称矩阵，属于不同特征值的特征向量一定彼此正交。属于相同特征值的特征向量也可进行正交化处理（施密特正交化）。这时候特征向量组合的矩阵为正交矩阵。
性质3：对任意的实对称矩阵
，都存在正交矩阵
，使得矩阵对角化
。
2. 厄密矩阵（Hermitian matrix）
厄密矩阵定义[1,5]：
性质1：厄密矩阵的特征值都是实数。
性质2：对于厄密矩阵，属于不同特征值的特征向量一定彼此正交。属于相同特征值的特征向量也可进行正交化处理（施密特正交化）。这时候特征向量组合的矩阵为幺正矩阵。
性质3：对任意的厄密矩阵，都存在幺正矩阵，使得矩阵对角化。
参考资料：
[1] 《高等代数与解析几何》教材
[2] 百度百科：正交矩阵
[3] 百度百科：幺正矩阵
[4] 百度百科：对称矩阵
[5] 百度百科：厄密矩阵
【说明：本站主要是个人的一些笔记和代码分享，内容可能会不定期修改。为了使全网显示的始终是最新版本，这里的文章未经同意请勿转载。引用请注明出处：https://www.guanjihuan.com】
老师您好！我看到很多文献里面都会把哈密顿量通过某种变换，得到能用泡利矩阵表示的非常简洁非常美观的形式，请问这种变换有什么含义和技巧吗？
还有就是，有些变换能把一个很大的哈密顿量，变成只跟简并态有关的一个较小的reduced哈密顿量，这样的变换是怎么做到的？
嗯，我也注意到这个问题了，估计是需要根据具体形式，然后根据经验和一些技巧来处理。目前也不大清楚具体怎么做，暂时无法回答你的问题。有找到一个别人回答的链接，看是否有帮助：https://physics.stackexchange.com/questions/662088/is-there-a-way-to-guess-find-unitary-transformations-for-hamiltonians。