一、薛定谔绘景
在外场
的作用下，哈密顿量
随时间变化。
1. 态矢量
态矢量：
薛定谔方程：
2. 算符
在薛定谔绘景下，规定算符
（除外）不随时间变化，即：
3. 算符平均值
算符的平均值为：
当该平均值为守恒量时，有：![i\hbar \frac{\partial}{\partial t} \langle \hat{A}_S(t) \rangle = \langle\psi_S(t)| \big\{ [\hat{A}_S(t), \hat{H}(t)]+i\hbar \frac{\partial}{\partial t} \hat{A}_S(t)]\big\}|\psi_S(t)\rangle=0](https://www.guanjihuan.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-deaedfed87b8bd0ef43a35f52cd76f4d_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
于是得到：![[\hat{A}_S(t), \hat{H}(t)]=0](https://www.guanjihuan.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-941580d942bb3da08c75a3ab6e063b4f_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
4. 表象基矢
以
作为表象，基矢为
。
本征方程：
正交归一：
在薛定谔绘景下，态矢量随时间变化，基矢不随时间变化。
二、海森堡绘景
1. 态矢量
态矢量：
当
时，
逆关系：
态矢量关系使用两次：
得到
在薛定谔绘景下，规定态矢量不随时间变化，即：
2. 算符
算符：
当时，
算符随时间演化：
![\begin{aligned}i\hbar \frac{\partial}{\partial t}\hat{A}_H(t) &=i\hbar \frac{\partial}{\partial t}\big[\hat{U}^{\dagger}(t, t_0)\hat{A}_S(t)\hat{U}(t, t_0)\big]\\&=[\hat{A}_H(t), \hat{H}_H(t)]+i\hbar[\frac{\partial}{\partial t}\hat{A}_S(t)]_H\end{aligned}](https://www.guanjihuan.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-8ad957d621b69e09ca439172d49caa33_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
其中：
![[\frac{\partial}{\partial t}\hat{A}_S(t)]_H=\hat{U}^{\dagger}(t, t_0)[\frac{\partial}{\partial t}\hat{A}_S(t)]\hat{U}(t, t_0)](https://www.guanjihuan.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-dfb3517d3f87e4e1813bd3be4fb47a32_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
算符随时间演化的方程称为海森堡方程，初始条件为：。
3. 算符平均值
算符
的平均值为：
4. 表象基矢
以作为表象，基矢为
。
本征方程：
其中：
之所以本征值是
，这是因为：
正交归一：
在海森堡绘景下，态不随时间变化，基矢量随时间变化。
三、相互作用绘景
哈密顿量：
1. 态矢量
态矢量：
其中，
，用到的未受到微扰的哈密顿量。
当时，
态随着时间的演化：
态随着时间的演化与微扰有关。
初始条件：
2. 算符
算符：
当时，
算符随时间演化：
![\begin{aligned}i\hbar \frac{\partial}{\partial t}\hat{A}_I(t) &=i\hbar \frac{\partial}{\partial t}\big[\hat{U}_0^{\dagger}(t, t_0)\hat{A}_S(t)\hat{U}_0(t, t_0)\big]\\&=[\hat{A}_I(t), (\hat{H}_0(t))_I]+i\hbar[\frac{\partial}{\partial t}\hat{A}_S(t)]_I\end{aligned}](https://www.guanjihuan.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-4871b5aad442d6c3cd77e28d2c3ede8e_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
其中：
![[\frac{\partial}{\partial t}\hat{A}_S(t)]_I=\hat{U}_0^{\dagger}(t, t_0)[\frac{\partial}{\partial t}\hat{A}_S(t)]\hat{U}_0(t, t_0)](https://www.guanjihuan.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-76b00403ed894217002a8fcb9f08f98f_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
算符随时间演化与未受到微扰的哈密顿量
有关。
初始条件：
3. 算符平均值
算符
的平均值为：
4. 表象基矢
以作为表象，基矢为
。
本征方程：
其中：
正交归一：
相互作用绘景就是在未受到微扰时的海森堡绘景。相互作用绘景又称为狄拉克绘景。在相互作用绘景下，态和基矢都随时间变化。
参考资料：
[1] 国科大金彪老师“高等量子力学”手稿课件
[2] 知乎：三种绘景
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