以二维电子气为例,哈密顿量为:
磁场沿着方向,选取朗道规范(Landau gauge):
加磁场后,薛定谔方程写为:
其中,算符:
此外,波函数可以写为:
代入薛定谔方程,得到:
为了得到标准谐振子方程[2]:
变量替换:
代入,得到:
通过观察,参数选为:
即变量替换为:
标准谐振子方程的解为[2]:,即
令,得到:
用厄密多项式表示[2]:
即
因此,波函数写为:
此外,朗道能级还可以用粒子数算符来求解:用粒子数算符求解朗道能级。
参考资料:
[1] 广州大学Prof. Yanyang Zhang课堂笔记
[2] 季燕江《量子力学讲义》的4.2节、6.5节、8.3节
[3] Yan-Yang Zhang et al, Three-dimensional topological insulator in a magnetic field: chiral side surface states and quantized Hall conductance, J. Phys.: Condens. Matter 24 015004 (2012).
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老师,我想问如果在谐振子基础上我希望y方向用一个有限大小,边界波函数为零的边界条件,我该怎么处理呢?
如果 y 方向为有限宽度,解析上可能很难处理,通常需要用数值方法来求解修正能级和波函数。方法可能是有限差分法、施加边界条件 ψ(y=0)=ψ(y=L)=0、本征值求解,但具体的计算方法我也不是很清楚,你可以找找教科书等资料,还有可以多问问 AI。
我猜大概的结论可能是:当宽度比较宽时,边界效应可忽略,朗道能级近似成立;当宽度接近于磁长度时,边界显著影响能级结构,且 y 方向的动量离散化。
谢谢老师