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离散格子的傅里叶变换和反傅里叶变换

发布时间：

最近修改时间：2023年4月19日

傅里叶变换：

|x\rangle=\frac{1}{\sqrt{N}}\sum\limits_{k}e^{ikx}|k\rangle

反傅里叶变换：

|k\rangle =\frac{1}{\sqrt{N}}\sum \limits_{x}e^{-ikx}|x\rangle

1. 一维链的傅里叶变换过程

\begin{aligned}H&=\sum_{<x,x'>} t |x'\rangle \langle x| \\&=\sum_{x} \big( t |x+a\rangle \langle x| + \mathrm{H.c.} \big) \\&=\sum_{x} \big[ t \frac{1}{\sqrt{N}}\sum_{k}e^{ik'(x+a)}|k'\rangle \frac{1}{\sqrt{N}}\sum_{k}e^{-ikx}\langle k|+ \mathrm{H.c.}\big]\\&=\sum_{x} \big[ t\frac{1}{N}\sum_{k, k'}e^{i(k'-k)x+ik'a} |k'\rangle \langle k| + \mathrm{H.c.} \big]\\&=\sum_{k,k'} \big[ t e^{ik'a} \frac{1}{N}\sum_{x}e^{i(k'-k)x} |k'\rangle \langle k| + \mathrm{H.c.} \big]\\&=\sum_{k,k'} \big( t e^{ik'a} \delta_{k',k} |k'\rangle \langle k| + \mathrm{H.c.} \big) \\&=\sum_{k} \big( t e^{ika} |k\rangle \langle k| + \mathrm{H.c.} \big) \\&=\sum_{k} 2t\cos(ka) |k\rangle \langle k|\end{aligned}

2. 一维链的反傅里叶变换过程

\begin{aligned}&\quad \sum_{k}2t\cos(ka)|k\rangle\langle k| \\&=\sum_{k} t(e^{ika}+e^{-ika}) \frac{1}{\sqrt{N}}\sum_{x'}e^{-ikx'}|x'\rangle \frac{1}{\sqrt{N}}\sum_{x}e^{ikx}\langle x|\\&=\sum_{k} t(e^{ika}+e^{-ika})\frac{1}{N}\sum_{x,x'}e^{ik(x-x')}|x'\rangle\langle x| \\&=t \sum_{x,x'} [ \frac{1}{N} \sum_{k} (e^{ika}+e^{-ika}) e^{ik(x-x')} ] |x'\rangle \langle x| \\&=t \sum_{x,x'} [ \frac{1}{N} \sum_{k} e^{ik(x-x'+a)}+ \frac{1}{N} \sum_{k} e^{ik(x-x'-a)} ] |x'\rangle \langle x| \\&=t \sum_{x,x'} [\delta_{x+a,x'}+ \delta_{x, x'+a} ] |x'\rangle \langle x| \\&=t \sum_{<x,x'>} |x'\rangle \langle x|\end{ aligned }

3. 准一维条带（ribbon）的傅里叶变换过程

如果已知倒空间的哈密顿量，需要把k空间的哈密顿量反傅里叶变换到实空间中，得到跃迁项。而如果已知实空间的哈密顿量，那么就不用做这个步骤，直接可知跃迁项。

考虑准一维情况（有一定宽度，并且在某个方向上无限长），这时的元胞（最小重复单元）会变大。选定一组编号，把元胞当成整体，沿一个方向傅里叶变换（相当于沿一条链做傅里叶变换了），求本征值即可得到色散关系。

以准一维方格子为例，如下图所示：

其中红色虚线包围的是最小重复单元（这里圈出两个元胞）。

傅里叶变换的具体过程如下（元胞间的跃迁矩阵为H_{01}）：

\begin{aligned}H&=\sum_{x} \big(H_{01} |x+a\rangle \langle x| + \mathrm{H.c.} \big) \\&=\sum_{x} \big[H_{01} \frac{1}{\sqrt{N}}\sum_{k}e^{ik'(x+a)}|k'\rangle \frac{1}{\sqrt{N}}\sum_{k}e^{-ikx}\langle k|+ \mathrm{H.c.}\big]\\&=\sum_{x} \big[ H_{01}\frac{1}{N}\sum_{k, k'}e^{i(k'-k)+ik'a} |k'\rangle \langle k| + \mathrm{H.c.} \big]\\&=\sum_{k,k'} \big[ H_{01} e^{ik'a} \frac{1}{N}\sum_{x}e^{i(k'-k)} |k'\rangle \langle k| + \mathrm{H.c.} \big]\\&=\sum_{k,k'} \big( H_{01} e^{ik'a} \delta_{k',k} |k'\rangle \langle k| + \mathrm{H.c.} \big) \\&=\sum_{k} \big( H_{01} e^{ika} |k\rangle \langle k| + \mathrm{H.c.} \big) \\&=\sum_{k}\big(H_{01} e^{ika}+H_{01}^{\dagger}e^{-ika} \big) |k\rangle \langle k|\end{aligned}

如果H_{01}为t，则变回2tcos(ka)的形式。

此外，还要考虑元胞内部的哈密顿量H_{00}。这里省略了过程，结果如下：

H=\sum \limits_{x} H_{00} |x\rangle \langle x|\Rightarrow H=\sum \limits_{k}H_{00} |k\rangle \langle k|

代码例子：准一维方格子能带图（附Python代码）。

注：傅里叶变换时坐标可以用实际原子坐标，也可以用元胞坐标。用原子坐标时，傅里叶变量元胞内有些跃迁项会增加相位，即 e^{ika_{in}}；而用元胞坐标时，傅里叶变换元胞内就没有增加相位，即e^{0}。两种方法计算的结果是一样的，但建议用元胞坐标，会更方便些，尤其是当元胞比较大的时候会简单很多。 参考：以SSH模型为例子说明两种傅里叶变换方法。

4. 二维情况（两个方向上同时傅里叶变换）

（1） 正方格子哈密顿量的傅里叶变换

（2）石墨烯哈密顿量的傅里叶变换

（课件截图上传已经征求原作者同意。课件的主要技术内容就这两页。）

5. 在离散晶格中傅里叶变换常见的形式

（1）最近邻跃迁

\begin{aligned}\sum_{k} \cos(ka)|k\rangle\langle k| \quad &\Leftrightarrow \quad \sum_{<x,x'>} \frac{1}{2} |x'\rangle \langle x| \\\sum_{k} \sin(ka)|k\rangle\langle k| \quad &\Leftrightarrow \quad \sum_{<x,x'>} \frac{-i}{2} |x'\rangle \langle x| \end{aligned}

（2）次近邻跃迁：

\begin{aligned} \sum_{k}\cos(2ka)|k\rangle\langle k| \quad &\Leftrightarrow \quad \sum_{<<x,x'>>} \frac{1}{2} |x'\rangle \langle x| \\ \sum_{k} \sin(2ka)|k\rangle\langle k| \quad &\Leftrightarrow \quad \sum_{<<x,x'>>} \frac{-i}{2} |x'\rangle \langle x| \end{aligned}

（3）斜对角跃迁：

\begin{aligned}& \sum_{k} \cos(k_{x}a)\cos(k_{y}a) |k_x, k_y\rangle\langle k_x, k_y| \\ &\Leftrightarrow \sum_{x,y} \frac{1}{4} \big( |x,y\rangle \langle x+a,y+a| + |x,y\rangle \langle x+a,y-a| + \mathrm{H.c.}\big)\end{aligned}

\begin{aligned}& \sum_{k} \sin(k_{x}a)\sin(k_{y}a) |k_x, k_y\rangle\langle k_x, k_y|\\ &\Leftrightarrow \sum_{x,y} \frac{-1}{4} \big( |x,y\rangle \langle x+a,y+a| - |x,y\rangle \langle x+a,y-a| + \mathrm{H.c.}\big) \end{aligned}

\begin{aligned} & \sum_{k} \sin(k_{y}a)\cos(k_{x}a) |k_x, k_y\rangle\langle k_x, k_y| \\ &\Leftrightarrow \sum_{x,y} \frac{-i}{4} \big( |x,y\rangle \langle x+a,y+a| - |x,y\rangle \langle x+a,y-a| + \mathrm{H.c.}\big) \end{aligned}

其他参考资料：

[1] 如何通俗地解释什么是离散傅里叶变换？

[2] Fourier Series, Fourier Transforms and the Delta Function

[3] Fourier transform 总结（新链接：https://zqw.ink/posts/2018-09-07-physics-Fourier%20transform%20总结.html，失效链接：https://zqw.ink/2018/09/07/Fourier transform 总结/）

[4] 六角蜂窝格子紧束缚模型的计算

[5] Ji-Huan Guan博士学位论文

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120 thoughts on “离散格子的傅里叶变换和反傅里叶变换”

  2. 老师您好，如果想要处理一个包含kx,ky,kz的三维动量空间哈密顿量，将其利用傅里叶变换转到实空间，在此过程中是否可以将kz看作体系参数保留k空间的形式，从而把三维哈密顿量等效为二维有效哈密顿量

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    1. 如果把kz作为参数，kx和ky作为维度，那么是可以看做是包含kz参数的二维哈密顿量，但这个形式和三维哈密顿量是一样的。

      如果把kx和ky反傅里叶变换到实空间，x和y方向取有限宽度，然后保留kz，那么是准一维的哈密顿量（tube），沿着z方向。

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  4. 呜呜，老师您如果方便的话，能不能也发我一份呢？您的资料对我太有帮助了呢^^ 总之谢谢您的分享~
    如果方便的话

    手动爱心

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  5. 关老师您好，可以分享一下张艳阳老师的课件吗，如果时间太久您那里也没有了也，没关系，您的文章对我的帮助很大，非常感谢您

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  8. 如果对正方格子这个模型稍加变化，四个格点组成的不是正方了，而是个斜的平行四边形，向下的跃迁还能标志成y到y+1吗

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    1. 还是可以的表示的。只是可能跃迁积分会发生变化，或者傅里叶变换后包含kx和ky的形式不一样

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  9. 关老师，为什么第一个正方格子那个格点没有考虑向左和向上的跃迁呢

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  10. 博主，你好。我想问一下：a.算石墨烯那一页第四个等号右边的第二项是胞间跃迁吧，那在考虑胞间跃迁的时，是以原胞整体考虑吗？还是一个原子一个原子的看，看它们能跃迁到另一个原胞的哪个位置。b.按照图示，胞间跃迁有四项，那f（k）不是应该也有四项吗。如果您太忙没时间解答，请略过呀。谢谢～

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    1. （a）是的，是胞间跃迁，这里是以整体做的傅里叶变换。当然，你也可以按原子来做傅里叶变换。（b）H.c. 表示厄密共轭，包含了另外两项。总共四项。

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        1. 没有重复求和。A到B的跃迁、B到A的跃迁（由厄米共轭 H.c. 来表示）属于两个不同的跃迁。最终的哈密顿量是厄米的。

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  11. 老师，麻烦您分享以下张老师的课件用于学习可以吗？谢谢老师啦！

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  18. 可以的话能分享一下张老师课件吗，麻烦啦
    另外笔记中石墨烯部分似乎有些问题，不过还是能看明白的

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