群论的基础概念

以下是自己的一些群论笔记。

1. 群的定义

集合称为群，如果中的元素满足以下四个条件：

1. 封闭性：
2. 结合律：
3. 恒元：
4. 逆元：

说明：这里的“元素”可以是任何的客体，“乘积”也可以是任意的运算法则。有限群中元素的个数被称为有限群的阶。

2. 阿贝尔群和非阿贝尔群

阿贝尔群： （“乘积”可交换）

非阿贝尔群： （“乘积”不可交换）

3. 子群

定义：如果群中某些元素的集合（子集合）本身形成一个群，那么该群称为群的子群，记为。

显然，群本身和恒元都是群的子群。

4. 循环群

定理：在有限群G中，，存在一个最小的整数，使得。其中，n称为群元（元素）A的阶。

证明过程：因为是有限群，所以元素A乘积到一定次数后，一定会回到某个元素上。令该元素为，其中。假设，可以进一步写为，因此得到。

有了以上的定理，可以知道的某次方会得到恒元，这时候再乘一个就回到的自身，形成了一个循环。

循环群的定义：由元素和元素的幂次构成的群，称为由A生成的循环群，记作：，其中表示循环群的阶，为循环群的生成元。只有循环群，生成元的阶才等于群的阶。

显然，循环群是阿贝尔群。

5. 有限群的乘法表

有限群中元素的“乘积”可以写成一个表格的形式，例如三阶循环群：

6. 重排定理

重排定理：是群中任意的一个元素，把这个元素和群中所有的元素“相乘”（左乘或右乘），得到新的元素集合，这个集合仍然是群。表达式可写为：。

证明略，证明过程可看参考资料。

该定理说明了在乘法表的每一行或列中，所有元素只能出现一次。也就是每一行或列都是所有元素的重排。

7. 陪集（coset）

定义：设是群的子群，在群中选取一个不在子群元素，把它左乘或右乘在子群上，得到群的两个子集：称为子群的左陪集，称为子群的右陪集。

陪集的性质：

（1）陪集与子群没有公共元素。证明：以左陪集为例，假设左陪集和子群存在公共元素，即，那么，与陪集的定义中矛盾。证毕。

（2）可进一步得到：陪集中不包含恒元。也就是说陪集只是一个集合，不是一个群（不满足群的定义条件），更不是群G的子群。

（3）陪集定理：子群的两个右陪集（或左陪集），要么有完全相同的元素，要么没有任何公共元素。证明略。

（4）拉格朗日定理：群的阶一定是子群的阶的整数倍。证明略。

8. 不变子群（正规子群）

定义：若群的子群的所有左陪集都与对应的右陪集相等，则称子群为不变子群。可以写成，其中。

显然，阿贝尔群的所有子群都是不变子群。

9. 共轭元素与类

共轭元素的定义：如果存在，使得，则称元素和共轭。

共轭元素性质：

（1）对称性：，则，共轭是相互的。

（2）传递性：，，于是有。

类的定义：群的所有相互共轭的元素集合组成的一个类。

10. 商群

不变子群H及其所有陪集作为复元素的集合，若按复元素的乘积规则满足群的四个条件，该群称为群关于不变子群H的商群，记作。

11. 群的同构关系（isomorphic）

若群和的所有元素间都按某种规则存在一一对应的关系（双射），且它们的乘积也按同一规则一一对应，则称两群同构。

12. 群的同态关系（homomorphic）

若群和的所有元素间都按某种规则存在一多对应关系（满射），即群中任一元素都唯一对应中的一个确定元素，中任一元素至少对应中一个元素，也可对应中若干元素，且群元素的乘积也按同一规则一多对应，则称两群同态。

说明：同态有方向性，即与同态，不一定与同态。群只反映了群的部分性质。

参考资料：

[1] GroupTheory: Application to the Physics of Condensed Matter (M.S. Dresselhaus, G. Dresselhaus, A. Jorio)

[2] 国科大郭璐老师的《群论》课件

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