矩阵两边乘上向量或者泡利矩阵后的形式

在量子力学中，经常会遇到矩阵两侧乘上向量或者泡利矩阵，这里给出乘积后展开的形式，以便之后在阅读文献时，可以了解到中间被省略的推导过程。

假设矩阵为：

$H=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} \\a_{21} & a_{22} \\\end{pmatrix}$

1. 矩阵两边乘上向量

$\begin{aligned}&\begin{pmatrix}c_1^{\dagger}, c_2^{\dagger}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} \\a_{21} & a_{22} \\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}c_1\\c_2\end{pmatrix}\\=&\begin{pmatrix}c_1^{\dagger}a_{11}+c_2^{\dagger}a_{21}, c_1^{\dagger}a_{12}+c_2^{\dagger}a_{22}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}c_1\\c_2\end{pmatrix}\\=&a_{11}c_1^{\dagger}c_1+a_{21}c_2^{\dagger}c_1+a_{12}c_1^{\dagger}c_2+a_{22}c_2^{\dagger}c_2\end{aligned}$

在最后的表达式中可以看到矩阵上的元素和向量中元素的对应关系。在文献中，哈密顿量一般会写成这两种形式：一个是矩阵的形式，一个是展开的形式。

2. 矩阵两边乘上泡利矩阵

矩阵两边乘上泡利矩阵一般会在幺正变换中出现，这包括哈密顿量满足某种对称性的情况。

（1）两边乘上 $\sigma_{x}$

$\begin{aligned}&\sigma_{x}H\sigma_{x}\\=&\begin{pmatrix}0 & 1 \\1 & 0 \\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} \\a_{21} & a_{22} \\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 & 1 \\1 & 0 \\\end{pmatrix}\\=&\begin{pmatrix}a_{21} & a_{22} \\a_{11} & a_{12} \\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 & 1 \\1 & 0 \\\end{pmatrix}\\=&\begin{pmatrix}a_{22} & a_{21} \\a_{12} & a_{11} \\\end{pmatrix}\end{aligned}$

可以看到结果为：矩阵对角线的两个元素互换，非对角线的两个元素互换。

（2）两边乘上 $\sigma_{y}$

$\begin{aligned}&\sigma_{y}H\sigma_{y}\\=&\begin{pmatrix}0 & -i \\i & 0 \\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} \\a_{21} & a_{22} \\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 & -i \\i & 0 \\\end{pmatrix}\\=&\begin{pmatrix}-i a_{21} & -i a_{22} \\i a_{11} & i a_{12} \\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 & -i \\i & 0 \\\end{pmatrix}\\=&\begin{pmatrix}a_{22} & -a_{21} \\-a_{12} & a_{11} \\\end{pmatrix}\end{aligned}$

可以看到结果为：矩阵对角线的两个元素互换，非对角线的两个元素互换并且加上一个负号。

（3）两边乘上 $\sigma_{z}$

$\begin{aligned}&\sigma_{z}H\sigma_{z}\\=&\begin{pmatrix}1 & 0 \\0 & -1 \\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} \\a_{21} & a_{22} \\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 0 \\0 & -1 \\\end{pmatrix}\\=&\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} \\-a_{21} & -a_{22} \\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 0\\0 & -1 \\\end{pmatrix}\\=&\begin{pmatrix}a_{11} & -a_{12} \\-a_{21} & a_{22} \\\end{pmatrix}\end{aligned}$

可以看到结果为：矩阵的元素位置都没有变，非对角线的两个元素加上一个负号。

综上，还可以发现 $\sigma_{x}$ 和 $\sigma_{z}$ 的联合作用效果等同于 $\sigma_{y}$ 的作用效果,这是因为

$\sigma_{x}\sigma_{z}=\begin{pmatrix}0 & 1 \\1 & 0 \\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 0 \\0 & -1 \\\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & -1 \\1 & 0 \\\end{pmatrix}=-i\sigma_{y}$

$\sigma_{z}\sigma_{x}=\begin{pmatrix}1 & 0 \\0 & -1 \\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 & 1 \\1 & 0 \\\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & 1 \\-1 & 0 \\\end{pmatrix}=i\sigma_{y}$

所以有

$(\sigma_{x}\sigma_{z})H(\sigma_{z}\sigma_{x})=(-i\sigma_{y})H(i\sigma_{y})=\sigma_{y}H\sigma_{y}$

关于泡利矩阵的张量积（不是乘积），阅读博文：泡利矩阵以及泡利矩阵的张量积。

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矩阵两边乘上向量或者泡利矩阵后的形式

1. 矩阵两边乘上向量

2. 矩阵两边乘上泡利矩阵

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