特别说明：本篇内容仅作为日常生活决策、价值投资、游戏娱乐等行为的理论参考，不作为赌博等非法投机行为的建议。
在概率事件中通常比较难以决策，因为这些事件存在着很大的不确定性。人们的决策往往会受到各种情绪的影响，可能会过于冒进或过于保守。科学地解决概率问题，最常见的方法是求期望值，也就是平均值，但期望值的判断方法只能说明是否做正向决策、是否值得参与，并不能揭露其中最佳的投入比例，以及可能存在的损失风险和破产风险。毕竟抛硬币连续反面 6 次的概率也是存在的，匹配机制的游戏连输 6 次的可能性也是有的，例如：
凯利公式为：
其中，f 投资比例，b 为本金的收益比例，a 为本金的损失比例，p 是赢的概率，q 是输的概率 (q=1-p)。
这里不给出具体的证明过程。证明过程主要是收益对投资比例 f 求导数，取为零，得到收益最高点所对应的最佳投资比例 f 值。
当损失比例为 a=100% 时，凯利公式简化为：
其中，这里的收益比例 b 也可以称为赔率。这个简化后的凯利公式反而更常见，这是因为当损失比例为 a=100% 时，越是需要进行仓位控制和风险控制。
以下为几个常见的例子：
（1）如果赢的概率为 p=0.5，输的概率为 q=0.5，赢的翻倍，即收益为 b=100%，输的损失为全部，即损失 a=100%，也就是赔率为 1。这种情况的期望收益率为：
使用凯利公式，得到最佳投资比例为：
解释：很明显，这种情况是不值得参与的。
（2）如果赢的概率为 p=0.6，输的概率为 q=0.4，赢的翻倍，即收益为 b=100%，输的损失为全部，即损失 a=100%。这种情况的期望收益率为：
使用凯利公式，得到最佳投资比例为：
解释：由于这种情况如果损失为全部损失，因此即使赢的概率为 0.6，期望收益率为 0.2，如果投资比例为 100%，有很大概率会亏光所有本金。凯利公式给出的最佳投资比例为 20%。
（3）如果赢的概率为 p=0.5，输的概率为 q=0.5，赢的翻倍，即收益为 b=100%，输的损失为一半，即损失 a=50%。这种情况的期望收益率为：
使用凯利公式，得到最佳投资比例为：
解释：在可能翻倍或者可能亏损一半的情况，如果觉得涨跌概率相等，那么半仓持股法是比较合理的。
（4）如果赢的概率为 p=0.6，输的概率为 q=0.4，赢的翻倍，即收益为 b=100%，输的损失为一半，即损失 a=50%。这种情况的期望收益率为：
使用凯利公式，得到最佳投资比例为：
解释：在可能翻倍或者可能亏损一半的情况，如果觉得涨的概率更大些，那么适当超过半仓是比较合理的。虽然这个例子的期望收益率高达 40%，但由于输的概率相对较大，为 0.4，因此凯利公式给出也不应该满仓的结论，应为 80%。
（5）如果赢的概率为 p=2/3=0.666，输的概率为 q=1/3=0.333，赢的翻倍，即收益为 b=100%，输的损失为一半，即损失 a=50%。这种情况的期望收益率为：
使用凯利公式，得到最佳投资比例为：
解释：在可能翻倍或者可能亏损一半的情况，如果觉得涨的概率超过 66.6%，那么可以考虑满仓。
（6）如果赢的概率为 p=0.4，输的概率为 q=0.6，赢的翻倍，即收益为 b=100%，输的损失为一半，即损失 a=50%。这种情况的期望收益率为：
使用凯利公式，得到最佳投资比例为：
解释：在可能翻倍或者可能亏损一半的情况，如果觉得跌的概率更大些，那么适当小于半仓是比较合理的。
（7）如果赢的概率为 p=0.5，输的概率为 q=0.5，赢的翻倍，即收益为 b=100%，输的损失 a=40%。这种情况的期望收益率为：
使用凯利公式，得到最佳投资比例为：
解释：如果觉得涨跌概率相等，在可能翻倍或者可能亏损小于一半的情况下，那么适当超过半仓是比较合理的。
（8）如果赢的概率为 p=0.55，输的概率为 q=0.45，赢的收益为 b=10%，输的损失 a=10%。这种情况的期望收益率为：
使用凯利公式，得到最佳投资比例为：
解释：如果涨停 10% 和跌停 10% 都有可能的情况下，如果觉得涨的概率超过 55%，那么可以考虑满仓，即使这个例子的期望收益率只是 1%。从这个例子也可以知道，当收益和损失的波动较小时，最佳仓位策略越容易是满仓，例如当收益和损失为 b=a=1% 时，如果觉得涨的概率超过 50.5%，那么可以考虑满仓。换句话说，在期望收益率为正的情况下，如果波动很小，风险不大，all in 是最佳选择，这是因为可以充分利用资金产生收益；而如果波动比较大，那么可以适当控制下仓位，防止可能存在的一些风险。
其他几个情况：当收益和损失为 b=a=30% 时，如果觉得涨的概率超过 65%，那么可以考虑满仓。当收益和损失为 b=a=50% 时，如果觉得涨的概率超过 75%，那么可以考虑满仓。
（9）如果赢的概率为 p=0.51，输的概率为 q=0.49，赢的收益为 b=10%，输的损失 a=10%，这种情况的期望收益率为：
使用凯利公式，得到最佳投资比例为：
解释：如果觉得涨跌概率比较相近，涨的可能性会稍微大一点点，且波动率在 10% 范围，那么 20% 左右的仓位是合理的；如果波动率在 20% 范围，那么 10% 左右的仓位是合理的。由于存在大量的估算，因此这个数值仅做参考，最佳仓位大概是在 10%-20% 之间。这也是很好地解释了为什么大部分基金的股票配置中至少有 10 只股票，且每只股票的仓位平均控制在 10% 左右。如果某只股票超出预期的跌了，那么可以通过仓位调整来完成适当的补仓。
关于短期波动幅度和长期波动幅度的选择：这个问题其实有点难理解，个人认为，凯利公式虽然主要考虑的是长期影响，但“下注”次数或做决策的次数也是很重要的，如果次数没达到，凯利公式无法发挥作用。因此，如果把每一天的决策作为独立事件，那么可以考虑使用短期波动的幅度；如果是一个星期或一个月做一次决策，那么可以考虑使用中期波动的幅度；而使用长期的波动幅度不是很合理，因为这种情况的决策次数是不够的。具体讨论在这里给出：凯利公式的Python数值验证。
总的来说，在具体实践中如果要应用凯利公式，需要每个决策都为独立事件，且为理性判断，同时需要对概率、收益、损失有比较准确的把握和估算。另外需要说明的是，没有满仓位并不意味着浪费资金，如果凯利公式给出的比例小于 100%（即没有满仓），这其实是出于风险管理的考虑。例如，在一些投资中，凯利公式推荐投资资金的 50%，这意味着你留有剩余资金来应对其他机会或避免因为某个单一投资失败而损失过多资金。凯利公式的主要目的是帮助在风险和收益之间找到最佳的平衡点。
额外补充 1：以上的结论也可以用于解释保险的合理性，以及对保险的选择和判断。保险的期望收益率是负数的，本没有存在的经济价值，可能更多是心理上的影响，但从这里可以看出，保险会降低整体波动性，从而不需要预留太多资金用于抵抗风险，于是可以将其他的更多资金用于消费和高风险的投资，提高了整体资金的利用率，从这个角度来说是有经济价值的。如果有的保险只是抵抗很小波动，个人认为属于智商税，因为它的期望收益率小于零，且降低不了多少风险，这在经济上是不合算的。
额外补充 2：本篇的内容也说明了 all in 在概率学上往往不是一个最佳的选择。从心理学上来说，穷人或中产更喜欢 all in，因为 all in 仍然存在着翻身的概率，即使它可能不是一个最佳选择；而对于富人来说，需要的通常只是一个小幅度增长，越富的人会越趋于保守。
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