贝里曲率为实数的证明

贝里曲率（Berry curvature）是量子力学和凝聚态物理中的一个重要概念，通常用于描述参数空间中的几何相位和拓扑性质。本篇给出贝里曲率为实数的证明过程，如有错误欢迎留言指正。

贝里联络的定义为：

$A_i(\mathbf{R}) = i\langle u(\mathbf{R}) | \partial_i u(\mathbf{R}) \rangle$

贝里曲率定义为：

$F_{ij}(\mathbf{R}) = \partial_i A_j(\mathbf{R}) - \partial_j A_i(\mathbf{R})$

利用态矢量的正交归一性： $\langle u(\mathbf{R}) | u(\mathbf{R}) \rangle = 1$ ，于是有： $\partial_i \langle u(\mathbf{R}) | u(\mathbf{R}) \rangle = 0$ ，得到：

$\langle \partial_i u(\mathbf{R}) | u(\mathbf{R}) \rangle = - \langle u(\mathbf{R}) | \partial_i u(\mathbf{R}) \rangle$

可知 $\langle u(\mathbf{R}) | \partial_i u(\mathbf{R}) \rangle$ 为纯虚数，因此， $A_i^*(\mathbf{R}) = A_i(\mathbf{R})$ ，即贝里联络为实数。于是，基于贝里联络求导的贝里曲率也为实数。这里的证明是基于极限导数的情况，如果是离散的数值计算，结果为复数，但虚部为趋于无穷小。