在薛定谔方程下自由粒子的解

本篇整理和复习下量子力学中的基础概念和推导，求解自由粒子的薛定谔方程。

对于一维情况，自由粒子的薛定谔方程为：

$i\hbar \frac {\partial \psi(x,t)} {\partial t} = -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2 \psi(x,t)}{\partial x^2}$

解方程时需要分离变量，即假设波函数可以写成空间部分和时间部分的乘积：

$\psi(x,t) = \phi(x) T(t)$

对于任意的波函数，并不一定可以完全分离变量。虽然波函数的分离变量并非总是成立，但在很多情况下，特别是对于自由粒子，这种假设是有效的，因为如果无外势或者外势不含时，波函数的每个位置都是随着时间独立演化的，空间和时间相互独立。如果外势是含时的，导致了空间和时间不相互独立，那么分离变量可能就失效了。

将分离形式的波函数代入薛定谔方程：

$i\hbar \phi(x) \frac{d T(t)}{d t} = -\frac{\hbar^2}{2m} T(t) \frac{d^2 \phi(x)}{d x^2}$

移项：

$i\hbar \frac{1}{T(t)} \frac{d T(t)}{d t} = -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{1}{\phi(x)} \frac{d^2 \phi(x)}{d x^2}$

由于左边只和时间 t 相关，右边只和位置 x 相关，它们在求导后表达式相等，那么只能是一个常数，这里先记为 E。

$i\hbar \frac{1}{T(t)} \frac{d T(t)}{d t} = E$

$-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{1}{\phi(x)} \frac{d^2 \phi(x)}{d x^2} = E$

移项：

$i\hbar \frac{d T(t)}{d t} = E T(t)$

$-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2 \phi(x)}{d x^2} = E \phi(x)$

上面第一个方程的解为：

$T(t) = e^{-iEt/\hbar}$

第二个方程的解为：

$\phi(x) = A e^{ikx} + B e^{-ikx}$

得到对应的分离常数值为 $E = \frac{\hbar^2 k^2}{2m}$ 。

波函数的最终解为：

$\psi(x,t) = \left( A e^{ikx} + B e^{-ikx} \right) e^{-iEt/\hbar}$

这个为自由粒子的解，为平面波，包含了向前传播和向后传播，同时每个位置的幅度也随着时间进行演化。该解是分离变量的结果，也是空间和时间相互独立这个物理图像的结果。

需要说明的是：这里的分离常数 E 的物理含义是能量。这是因为我们可以定义时间演化算符 $e^{-iHt/\hbar}$ ，这时 E 作为时间演化的指数项系数，代表的是系统的能量。另外如果 t=0 时，E 显然是定态薛定谔方程的本征能量。这个含义的解释逻辑是自洽的。

如果有关系 $E = \hbar \omega$ ，波函数通常也写为：

$\psi(x,t) = \left( A e^{ikx} + B e^{-ikx} \right) e^{-i\omega t}$

把 x 推广到一般的位置矢量 $\mathbf{r}$ ，那么波函数为：

$\psi(\mathbf{r}, t) = A e^{i(\mathbf{k} \cdot \mathbf{r} - \omega t)$

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