这里画出最简单的体系“方格子”在准一维情况下的能带图。下面是方格子的示意图（宽度为10，红虚线圈出了两个元胞）：
以宽度为3为例（图中画出的是宽度为10），写出实空间的哈密顿量：
第一项是元胞内的跃迁项。第二项是元胞间的跃迁项，对所有最近邻的求和。
离散格子的傅里叶变换可以参考博文：离散格子的傅里叶变换和反傅里叶变换
这里只在一个方向做傅里叶变换。傅里叶变换后得到倒空间的哈密顿量为：
代码如下：
"""
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The newest version of this code is on the web page: https://www.guanjihuan.com/archives/3895
"""
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from math import *
import cmath
import functools
def hamiltonian(k, N, t): # 准一维方格子哈密顿量
# 初始化为零矩阵
h00 = np.zeros((N, N), dtype=complex)
h01 = np.zeros((N, N), dtype=complex)
for i in range(N-1): # 原胞内的跃迁h00
h00[i, i+1] = t
h00[i+1, i] = t
for i in range(N): # 原胞间的跃迁h01
h01[i, i] = t
matrix = h00 + h01*cmath.exp(1j*k) + h01.transpose().conj()*cmath.exp(-1j*k)
return matrix
def main():
H_k = functools.partial(hamiltonian, N=10, t=1)
k = np.linspace(-pi, pi, 300)
plot_bands_one_dimension(k, H_k)
def plot_bands_one_dimension(k, hamiltonian):
dim = hamiltonian(0).shape[0]
dim_k = k.shape[0]
eigenvalue_k = np.zeros((dim_k, dim))
i0 = 0
for k0 in k:
matrix0 = hamiltonian(k0)
eigenvalue, eigenvector = np.linalg.eig(matrix0)
eigenvalue_k[i0, :] = np.sort(np.real(eigenvalue[:]))
i0 += 1
for dim0 in range(dim):
plt.plot(k, eigenvalue_k[:, dim0], '-k')
plt.show()
if __name__ == '__main__':
main()
能带为：
此外，如果是沿着斜对角方向的准一维条带，只要写出内部跃迁矩阵和元胞之间的跃迁矩阵后，傅里叶变换仍然类似于一维链的情况。如下图所示：
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关老师，全空间的能带图怎么画啊
对倒空间的哈密顿量的每个(kx,ky)求本征值或者赋值就好了。如果只有实空间的哈密顿量，那么需要在两个方向上进行傅里叶变换。对于方格子，差不多是 2cos(kx)+2cos(ky) 的形式。
谢谢
关老师，我想问一下，QWZ模型的准一维能带图应该怎么处理？
s00=sin(k)*sy+(cos(k)+u)*sz;
h00=t*diag(ones(1,N-1),1)+t*diag(ones(1,N-1),-1);
H00=kron(h00,s00);
s01=(sz+1i*sx)/2;
h01=t*diag(ones(1,N));
H01=kron(h01,s01);
H=H00+H01*exp(1j*k)+H01'*exp(-1j*k(i));
这里是我写的准一维处理，但是得到结果不对。
模型的介绍可以参考这本书 2016 - Asbóth et al. - A Short Course on Topological Insulators, 里面提到：This model is also important because it forms the basic building block of the Bernevig-Hughes-Zhang model for the Quantum Spin Hall Effect, and thus it is also sometimes called “half BHZ”.
具体的代码书写可以参考：
离散格子的傅里叶变换和反傅里叶变换、
BHZ模型的自旋陈数和Z2不变量（附Python、Matlab代码）、
BHZ模型哈密顿量与准一维体系的能带图（附Python代码）。
这个的宽度是9吧，应该不是10，相应的后面的宽度是2
嗯，都是可以的，看怎么定义了。这里说的宽度指的是元胞中有几个原子。
关老师，我想问一个问题，不管是在方格子还是在六边形中，在使用哈密顿量求解边界态的时候，经常会有这样一个循环，我一直不太理解这是什么意思，可以请教一下吗？（MATLAB代码）
num=101
k=linspace(0,2,num);
for i=1:num
H=H00+H01*exp(1j*k(i)*pi)+H01'*exp(-1j*k(i)*pi);
eigenvalue=eig(H);
E(:,i)=eigenvalue;
end
代码为对不同的k，求哈密顿量H本征值。这里是条带（ribbon）的哈密顿量，和一维链的傅里叶变换形式差不多，参考：离散格子的傅里叶变换和反傅里叶变换。
您好！请问代码最后对特征能量数组进行储存的时候，为什么要加一个排序操作(np.sort)呢？
np.linalg.eig的特征值是没有排序的。参考：np.linalg.eig和np.linalg.eigh的区别。
博主，您好！对于这个模型，哈密顿量矩阵对角线上的量来自于胞间的跃迁，比如x1到x‘1为t，这个根据图是可以理解的。不过在您的另一篇博文中，有用到广州大学张艳阳老师课件的那一页，在给出石墨烯哈密顿量的时候，哈密顿量矩阵的主对角线上的元都为零。石墨烯不是也有胞间跃迁的嘛，为什么矩阵对角元上元素都为0呢？
对于胞间跃迁，如果是编号i的位置到编号i的位置有跃迁，那么在主对角线上写。如果是编号i的位置到编号j (j≠i) 的位置有跃迁，那么不在主对角线上写，主对角线上可以为0。
好的，谢谢关老师！请问这个模型有没有详细的书可以参阅呢？目前学得一知半解，也不能够自己独立推导出一个模型的哈密顿量。
就是用这个方法写哈密顿量矩阵，不局限于石墨烯模型、方格子，请问哪本书有介绍呢
我好像没有看到，你可以自己找一找。紧束缚模型直接写就是这个原理，对于具体材料的紧束缚模型需要从第一性原理计算给出。
好的谢谢您～
在元胞内采取周期性边界条件，对应矩阵的第一行末尾和最后一行起始元素都为t（而不是0）是否更加合理，那样的话由于更好的对称性系统能量将会产生简并。
嗯，都可以的，看考虑的是什么问题。如果需要研究体态、忽略边缘态，可以这么考虑。
楼主您好，请问假如原胞内的跃迁不是一个数而是一个矩阵，那么构建哈密顿量的时候怎么赋值呢？
可参考：BHZ模型哈密顿量与准一维体系的能带图（附Python代码）。
问一下博主，这个方格子示意图水平方向是无限长的是吗？
是的
大神，想请教一个问题，对于两个方向都是有限的模型，比如你那篇方格子的哈密顿量，哈密顿量里面都是固定的跃迁系数，与k无关，如何画出他们的能带结构呢？
能带是要求在某个方向是周期性的，这样才可以傅里叶变换，才有动量k。如果体系没有周期性，当然也可以把整个有限宽度和高度的体系当成元胞，在某个方向上周期性重复，这样也能画出能带，也能体现出该体系的性质。但这种情况能带的结构会比较乱，这是因为元胞内包含的自由度比较高，对应的带也就比较多了。