波函数和算符的幺正变换/表象变换

1. 表象

定义两个表象的正交完备归一基：

表象A：正交完备归一基矢为 $\{\psi_n\}$ ，满足内积 $( \psi_m, \psi_n)=\delta_{mn}$

表象B：正交完备归一基矢为 $\{\varphi_\alpha\}$ ，满足内积 $( \varphi_\alpha, \varphi_\beta)=\delta_{\alpha\beta}$

表象B中的任意基矢可以用A表象的基矢来表示，即

$\varphi_\alpha=\sum_{n}S_{n\alpha}\psi_n$

其中， $S_{n\alpha}=(\psi_n, \varphi_\alpha)$ ，也就是得到表象变换矩阵 $S$ 。可证明矩阵 $S$ 是幺正矩阵。

2. 波函数的表象变换

波函数 $\chi$ 在A表象中：

$\chi_A=\sum_{n}a_n\psi_n$

其中， $a_n=(\psi_n, \chi)$ 。

波函数 $\chi$ 在B表象中：

$\chi_B=\sum_{\alpha}b_\alpha\varphi_\alpha$

其中， $b_\alpha=(\varphi_\alpha, \chi)$ 。

有以下关系：

$b_\alpha=(\varphi_\alpha, \chi)=(\sum_{n}S_{n\alpha}\psi_n, \chi)=\sum_{n}S^{*}_{n\alpha}(\psi_n, \chi)=\sum_{n}S^{\dag}_{\alpha n}a_n$

所以， $b=S^{\dag}a$

3. 算符的表象变换

算符 $\hat{F}$ 在表象A中： $F_{mn}=(\psi_m, \hat{F}\psi_n)=F_A$

算符 $\hat{F}$ 在表象B中： $F_{\alpha\beta}=(\varphi _\alpha , \hat{F} \varphi _\beta )=F_B$

有关系：

$\begin{aligned}F_{\alpha\beta}= (\varphi _\alpha , \hat{F} \varphi _\beta )=( \sum_{n}S_{n\alpha}\psi_n, \hat{F} \sum_{m}S_{m\beta}\psi_m ) \\ = \sum_{nm}S^{*}_{n\alpha}( \psi_n , \hat{F} \psi_m) S_{m\beta} = \sum_{nm}S^{\dag}_{\alpha n} F_{nm} S_{m\beta} \end{aligned}$

所以， $F_B=S^{\dag}F_AS= F_B=S^{-1}F_AS$

参考资料：

[1] 季燕江《量子力学讲义》

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2 thoughts on “波函数和算符的幺正变换/表象变换”

你好，我有几个问题想要请教您：
一、表象那 S_{n\alpha}的下标是指标识矩阵的，标识哪个\psi_n变换到哪个\phi_{\alpha}的吧，不是指某个矩阵中某个矩阵元，请问是这样吗？
二、S_{n\alpha}等于那两个波函数内积，内积不是得到一个数吗，为什么会得到一个矩阵呀请问？
三、我看见幺正矩阵的性质有一个是S_{m\alpha}^*S_{n\alpha} = I \delta_{nm} 请问这个如何证明啊？
如能解答，十分感谢

guanjihuan说道：

2022年9月1日 15:42

（1）S_{n\alpha}是表示S矩阵的矩阵元，这个求和的过程其实就是矩阵和向量乘积的过程。
（2）内积后是一个数，不同下标的向量的内积作为矩阵元，组成一个矩阵。
（3）这个性质好像就是幺正矩阵的定义吧，不用证明。可以看看网上资料或线性代数相关的数学书。

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