泡利矩阵以及泡利矩阵的张量积

1. 单位矩阵：

$\sigma_0=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix}$

2. 泡利矩阵：

$\sigma_x=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{pmatrix} \quad \sigma_y=\begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \\ \end{pmatrix} \quad \sigma_z=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{pmatrix}$

3. 泡利矩阵性质

$\sigma_{x}^{2}=\sigma_{y}^{2}=\sigma_{z}^{2}=1$

$\sigma_x \cdot \sigma_y =i \sigma_z$

$\sigma_y \cdot \sigma_z =i \sigma_x$

$\sigma_z \cdot \sigma_x =i \sigma_y$

对易关系：

$[\sigma_x, \sigma_y]=\sigma_x \cdot \sigma_y-\sigma_y \cdot \sigma_x=2i\sigma_z$

$[\sigma_y, \sigma_z]=\sigma_y \cdot \sigma_z-\sigma_z \cdot \sigma_y=2i\sigma_x$

$[\sigma_z, \sigma_x]=\sigma_z \cdot \sigma_x-\sigma_x \cdot \sigma_z=2i\sigma_y$

反对易关系：

$\{\sigma_x, \sigma_y\}=\sigma_x \cdot \sigma_y+\sigma_y \cdot \sigma_x=0$

$\{\sigma_y, \sigma_z\}=\sigma_y \cdot \sigma_z+\sigma_z \cdot \sigma_y=0$

$\{\sigma_z, \sigma_x\}=\sigma_z \cdot \sigma_x+\sigma_x \cdot \sigma_z=0$

4. 矩阵的张量积（或称为Kronecker积）的定义：

该图片来源于参考资料【2】

也就是将“张量积符号后面的那个矩阵”扔到“张量积符号前面那个矩阵”的各个元素中。

需要说明的是：

Kronecker积是张量积的特殊形式[3]。
在物理中说直积，通常讲的就是张量积。但在数学上直积和张量积还是有区别的，看参考资料[4]。

5. 泡利矩阵的张量积（两套矩阵的符号分别是 $\tau$ 和 $\sigma$ ，空白处代表零元素）：

（1）张量积符号前面是 $\tau_0$ ：

$\tau_0 \otimes\sigma_0=\begin{pmatrix} 1 & 0 & & \\ 0 & 1 & & \\ & & 1 & 0 \\ & & 0 & 1 \end{pmatrix}$

$\tau_0 \otimes\sigma_x=\begin{pmatrix} 0 & 1 & & \\ 1 & 0 & & \\ & & 0 & 1 \\ & & 1 & 0 \end{pmatrix}$

$\tau_0 \otimes\sigma_y=\begin{pmatrix} 0 & -i & & \\ i & 0 & & \\ & & 0 & -i \\ & & i & 0 \end{pmatrix}$

$\tau_0 \otimes\sigma_z=\begin{pmatrix} 1 & 0 & & \\ 0 & -1 & & \\ & & 1 & 0 \\ & & 0 & -1 \end{pmatrix}$

（2）张量积符号前面是 $\tau_x$ ：

$\tau_x \otimes\sigma_0=\begin{pmatrix} & & 1 & 0 \\ & & 0 & 1 \\ 1 & 0 & & \\ 0 & 1 & & \end{pmatrix}$

$\tau_x \otimes\sigma_x=\begin{pmatrix} & & 0 & 1 \\ & & 1 & 0 \\ 0 & 1 & & \\ 1 & 0 & & \end{pmatrix}$

$\tau_x \otimes\sigma_y=\begin{pmatrix} & & 0 & -i \\ & & i & 0 \\ 0 & -i & & \\ i & 0 & & \end{pmatrix}$

$\tau_x \otimes\sigma_z=\begin{pmatrix} & & 1 & 0 \\ & & 0 & -1 \\ 1 & 0 & & \\ 0 & -1 & & \end{pmatrix}$

（3）张量积符号前面是 $\tau_y$ （这里为了更直观些，中间多写了一步）：

$\tau_y \otimes\sigma_0= \begin{pmatrix} 0 & -i\sigma_0 \\ i\sigma_0 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} & & -i & 0 \\ & & 0 & -i \\ i & 0 & & \\ 0 & i & & \end{pmatrix}$

$\tau_y \otimes\sigma_x= \begin{pmatrix} 0 & -i\sigma_x \\ i\sigma_x & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} & & 0 & -i \\ & & -i & 0 \\ 0 & i & & \\ i & 0 & & \end{pmatrix}$

$\tau_y \otimes\sigma_y= \begin{pmatrix} 0 & -i\sigma_y \\ i\sigma_y & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} & & 0 & -1 \\ & & 1 & 0 \\ 0 & 1 & & \\ -1 & 0 & & \end{pmatrix}$

$\tau_y \otimes\sigma_z= \begin{pmatrix} 0 & -i\sigma_z \\ i\sigma_z & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} & & -i & 0 \\ & & 0 & i \\ i & 0 & & \\ 0 & -i & & \end{pmatrix}$

（4）张量积符号前面是 $\tau_z$ （这里为了更直观些，中间多写了一步）：

$\tau_z \otimes\sigma_0= \begin{pmatrix} \sigma_0 & 0 \\ 0 & -\sigma_0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & & \\ 0 & 1 & & \\ & & -1 & 0 \\ & & 0 & -1 \end{pmatrix}$

$\tau_z \otimes\sigma_x= \begin{pmatrix} \sigma_x & 0 \\ 0 & -\sigma_x \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & & \\ 1 & 0 & & \\ & & 0 & -1 \\ & & -1 & 0 \end{pmatrix}$

$\tau_z \otimes\sigma_y= \begin{pmatrix} \sigma_y & 0 \\ 0 & -\sigma_y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & -i & & \\ i & 0 & & \\ & & 0 & i \\ & & -i & 0 \end{pmatrix}$

$\tau_z \otimes\sigma_z= \begin{pmatrix} \sigma_z & 0 \\ 0 & -\sigma_z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & & \\ 0 & -1 & & \\ & & -1 & 0 \\ & & 0 & 1 \end{pmatrix}$