这是之前的一篇：方格子紧束缚模型中朗道能级的陈数/霍尔电导（附Python代码）。本篇计算六角格子的朗道能级，代码主要参考和修改自这篇：六角格子的佩尔斯替换和石墨烯条带的Hofstadter蝴蝶（附Python代码）。
此外还有参考：
Python代码如下：
"""
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"""
import numpy as np
from math import *
import cmath
import functools
def hamiltonian(kx, ky, B, N, M, t1, a): # 在磁场下的二维石墨烯，取磁元胞
h00 = np.zeros((4*N, 4*N), dtype=complex)
h01 = np.zeros((4*N, 4*N), dtype=complex)
# 原胞内的跃迁h00
for i in range(N):
h00[i*4+0, i*4+0] = M
h00[i*4+1, i*4+1] = -M
h00[i*4+2, i*4+2] = M
h00[i*4+3, i*4+3] = -M
# 最近邻
h00[i*4+0, i*4+1] = t1*cmath.exp(-2*pi*1j*B*(3*a*i+1/4*a)*(np.sqrt(3)/2*a))
h00[i*4+1, i*4+0] = np.conj(h00[i*4+0, i*4+1])
h00[i*4+1, i*4+2] = t1
h00[i*4+2, i*4+1] = np.conj(h00[i*4+1, i*4+2])
h00[i*4+2, i*4+3] = t1*cmath.exp(2*pi*1j*B*(3*a*i+7/4*a)*(np.sqrt(3)/2)*a)
h00[i*4+3, i*4+2] = np.conj(h00[i*4+2, i*4+3])
for i in range(N-1):
# 最近邻
h00[i*4+3, (i+1)*4+0] = t1
h00[(i+1)*4+0, i*4+3] = t1
h00[4*(N-1)+3, 0] = t1*cmath.exp(1j*ky)
h00[0, 4*(N-1)+3] = t1*cmath.exp(-1j*ky)
# 原胞间的跃迁h01
for i in range(N):
# 最近邻
h01[i*4+1, i*4+0] = t1*cmath.exp(-2*pi*1j*B*(3*a*i+1/4*a)*(np.sqrt(3)/2*a))
h01[i*4+2, i*4+3] = t1*cmath.exp(-2*pi*1j*B*(3*a*i+7/4*a)*(np.sqrt(3)/2*a))
matrix = h00 + h01*cmath.exp(1j*kx) + h01.transpose().conj()*cmath.exp(-1j*kx)
return matrix
def main():
N = 300
a = 1
hamiltonian_function = functools.partial(hamiltonian, ky=0, B=1/(3*np.sqrt(3)/2*a*a*N), N=N, M=0, t1=1, a=a)
# 查看能带图
k_array = np.linspace(-pi, pi, 10)
eigenvalue_array = calculate_eigenvalue_with_one_parameter(k_array, hamiltonian_function)
plot(k_array, eigenvalue_array, xlabel='kx', ylabel='E', title='ky=0 N=%i Φ/Φ_0=1/(3*np.sqrt(3)/2*a*a*N)'%N, style='k-', y_max=1, y_min=-1)
# import guan
# k_array = np.linspace(-pi, pi, 10)
# eigenvalue_array = guan.calculate_eigenvalue_with_one_parameter(k_array, hamiltonian_function)
# guan.plot(k_array, eigenvalue_array, xlabel='kx', ylabel='E', title='ky=0 N=%i Φ/Φ_0=1/(3*np.sqrt(3)/2*a*a*N)'%N, style='k-', y_max=1, y_min=-1)
# 查看关系
eigenvalue, eigenvector = np.linalg.eigh(hamiltonian_function(0))
print('本征值个数：', eigenvalue.shape)
new_eigenvalue = []
for eigen in eigenvalue:
if -0.1<eigen<0.8: # 找某个范围内的本征值
if new_eigenvalue == []:
new_eigenvalue.append(eigen)
else:
if np.abs(eigen-new_eigenvalue[-1])>0.001: # 去除简并
new_eigenvalue.append(eigen)
print('大于等于0的本征值个数：', len(new_eigenvalue), '\n')
print(new_eigenvalue)
plot(range(len(new_eigenvalue)), np.square(np.real(new_eigenvalue)), xlabel='n', ylabel='E^2', style='o-')
def calculate_eigenvalue_with_one_parameter(x_array, hamiltonian_function, print_show=0):
dim_x = np.array(x_array).shape[0]
i0 = 0
if np.array(hamiltonian_function(0)).shape==():
eigenvalue_array = np.zeros((dim_x, 1))
for x0 in x_array:
hamiltonian = hamiltonian_function(x0)
eigenvalue_array[i0, 0] = np.real(hamiltonian)
i0 += 1
else:
dim = np.array(hamiltonian_function(0)).shape[0]
eigenvalue_array = np.zeros((dim_x, dim))
for x0 in x_array:
if print_show==1:
print(x0)
hamiltonian = hamiltonian_function(x0)
eigenvalue, eigenvector = np.linalg.eigh(hamiltonian)
eigenvalue_array[i0, :] = eigenvalue
i0 += 1
return eigenvalue_array
def plot(x_array, y_array, xlabel='x', ylabel='y', title='', fontsize=20, labelsize=20, show=1, save=0, filename='a', file_format='.jpg', dpi=300, style='', y_min=None, y_max=None, linewidth=None, markersize=None, adjust_bottom=0.2, adjust_left=0.2):
import matplotlib.pyplot as plt
fig, ax = plt.subplots()
plt.subplots_adjust(bottom=adjust_bottom, left=adjust_left)
ax.grid()
ax.tick_params(labelsize=labelsize)
labels = ax.get_xticklabels() + ax.get_yticklabels()
[label.set_fontname('Times New Roman') for label in labels]
ax.plot(x_array, y_array, style, linewidth=linewidth, markersize=markersize)
ax.set_title(title, fontsize=fontsize, fontfamily='Times New Roman')
ax.set_xlabel(xlabel, fontsize=fontsize, fontfamily='Times New Roman')
ax.set_ylabel(ylabel, fontsize=fontsize, fontfamily='Times New Roman')
if y_min!=None or y_max!=None:
if y_min==None:
y_min=min(y_array)
if y_max==None:
y_max=max(y_array)
ax.set_ylim(y_min, y_max)
if save == 1:
plt.savefig(filename+file_format, dpi=dpi)
if show == 1:
plt.show()
plt.close('all')
if __name__ == '__main__':
main()运行结果：
结论：六角格子/石墨烯紧束缚模型的朗道能级在费米能为零附近接近于根号N的分布。
参考资料：
[1] Yan-Yang Zhang et al, Three-dimensional topological insulator in a magnetic field: chiral side surface states and quantized Hall conductance, J. Phys.: Condens. Matter 24 015004 (2012).
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请问为什么算朗道能级要扩胞呢？
加了磁势之后，元胞自然就变大了，也就是选为磁胞。
感觉确实是周期性边界条件导致了其振荡，我将尺度取到很大后就可以看到基本不振荡了。
您好，我想请问一下，这里的六角格子算出来的LLs都是平的，并且不同的k对应相同的E，我的问题是你这里写的程序应该是周期性条件下的，对吧，不是开边界的条件；还有就是我也看了您写的方格子的LLs，为什么方格子的LLs在E=0附近就是低能部分是关于cos振荡的，而不是想六角格子一样都是平。
挺好的一个问题，我之前也发现了这个现象，其实也不是完全懂，但大概率就是由于晶格离散化所导致的，因为二维电子气的朗道能级不存在震荡的现象，参考：二维电子气的朗道能级。
以下是我个人的理解，不一定对，供参考。
（1）二维电子气晶格化后k^2对应的是cos的形式，这个近似应该是在k=0附近才比较成立，然而方格子的k=0时不是最低能量，因此当费米能E=0时，晶格化后的朗道能级和二维电子气的朗道能级会呈现出一些偏差。至于震荡的来源，应该是由于晶格周期性和有限尺寸的影响。
（2）对于六角格子，它的低能部分E=0附近刚好是线性的，满足狄拉克费米子的性质，参考：狄拉克电子朗道能级的根号N分布，因此在晶格中朗道能级的数值计算的结果和理论值比较吻合。