np.linalg.eig和np.linalg.eigh的区别

np.linalg.eig文档：https://numpy.org/doc/stable/reference/generated/numpy.linalg.eig.html

np.linalg.eigh文档：https://numpy.org/doc/stable/reference/generated/numpy.linalg.eigh.html

1. np.linalg.eig

Compute the eigenvalues and right eigenvectors of a square array

特点：

（1）可以计算任意矩阵的特征值和特征向量。

（2）特征值没有按大小排序，需自行根据实部排序。

（3）对于相同特征值的情况，得到的特征向量可能相互正交，也可能不相互正交。

2. np.linalg.eigh

Return the eigenvalues and eigenvectors of a complex Hermitian (conjugate symmetric) or a real symmetric matrix.

特点：

（1）计算厄密矩阵或实对称矩阵的特征值和特征向量，即特征值一定为实数。

（2）特征值已按大小排序，从小到大。

（3）对于相同特征值的情况，得到的特征向量相互正交。

3. 结论

在已知是厄密矩阵（包括实对称矩阵）的情况下，最好使用np.linalg.eigh，可以避免相同特征值对应的特征向量不正交的情况，同时特征值也经过了排序。

4. 代码测试

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"""

import numpy as np

def hamiltonian(width=2, length=2):
    h00 = np.zeros((width*length, width*length))
    for i0 in range(length):
        for j0 in range(width-1):
            h00[i0*width+j0, i0*width+j0+1] = 1
            h00[i0*width+j0+1, i0*width+j0] = 1
    for i0 in range(length-1):
        for j0 in range(width):
            h00[i0*width+j0, (i0+1)*width+j0] = 1
            h00[(i0+1)*width+j0, i0*width+j0] = 1
    return h00

print('矩阵：\n', hamiltonian(), '\n')

eigenvalue, eigenvector = np.linalg.eig(hamiltonian())
print('eig求解特征值：', eigenvalue)
print('eig求解特征向量：\n',eigenvector)
print('判断特征向量是否正交：\n', np.dot(eigenvector.transpose(), eigenvector))

print()

eigenvalue, eigenvector = np.linalg.eigh(hamiltonian())
print('eigh求解特征值：', eigenvalue)
print('eigh求解特征向量：\n',eigenvector)
print('判断特征向量是否正交：\n', np.dot(eigenvector.transpose(), eigenvector))

计算结果：

矩阵：
 [[0. 1. 1. 0.]
 [1. 0. 0. 1.]
 [1. 0. 0. 1.]
 [0. 1. 1. 0.]] 

eig求解特征值： [-2.00000000e+00  6.59737022e-17  2.00000000e+00  0.00000000e+00]
eig求解特征向量：
 [[ 5.00000000e-01 -7.07106781e-01  5.00000000e-01  0.00000000e+00]
 [-5.00000000e-01 -4.63633825e-17  5.00000000e-01 -7.07106781e-01]
 [-5.00000000e-01 -3.76905605e-17  5.00000000e-01  7.07106781e-01]
 [ 5.00000000e-01  7.07106781e-01  5.00000000e-01  0.00000000e+00]]
判断特征向量是否正交：
 [[ 1.00000000e+00  2.29934717e-17  1.11022302e-16 -1.34015774e-16]
 [ 2.29934717e-17  1.00000000e+00 -2.61296916e-16  6.13261131e-18]
 [ 1.11022302e-16 -2.61296916e-16  1.00000000e+00  1.34015774e-16]
 [-1.34015774e-16  6.13261131e-18  1.34015774e-16  1.00000000e+00]]

eigh求解特征值： [-2.00000000e+00  0.00000000e+00  6.41847686e-17  2.00000000e+00]
eigh求解特征向量：
 [[ 5.00000000e-01  0.00000000e+00  7.07106781e-01  5.00000000e-01]
 [-5.00000000e-01 -7.07106781e-01  4.90653893e-18  5.00000000e-01]
 [-5.00000000e-01  7.07106781e-01  4.90653893e-18  5.00000000e-01]
 [ 5.00000000e-01  0.00000000e+00 -7.07106781e-01  5.00000000e-01]]
判断特征向量是否正交：
 [[ 1.00000000e+00 -1.27281142e-16  8.52392549e-17  3.05311332e-16]
 [-1.27281142e-16  1.00000000e+00  9.25602967e-34  1.04287671e-16]
 [ 8.52392549e-17  9.25602967e-34  1.00000000e+00 -1.66533454e-16]
 [ 3.05311332e-16  1.04287671e-16 -1.66533454e-16  1.00000000e+00]]

说明：

• 由以上结果可以看出用eig求解时，特征值没有排序。
• 运行的特征向量结果仅供参考。这里的例子，在有的 numpy 版本中在 eig 后会得到相互正交的结果，而在有的版本中会得到不相互正交的结果。这可能是官方那边在 eig 的底层算法在不同版本中做了调整，但计算结果在数学上都是正确的。

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