Chirality和Helicity

1. Chirality

在物理上，chirality表示的是left-handed Weyl spinors 和right_handed Weyl spinors 的不对称性，可以由来定义。

外尔表象的第五个Gamma矩阵[1]：

右和左chiral算符可以写为：，即：

外尔表象的狄拉克方程：

在有质量的情况下，左右两个chiral states相互混合，chirality不再是守恒量。但动量和自旋都是守恒量，因此可以定义helicity。

2. Helicity

helicity表示的是自旋在动量方向上的投影。

helicity表达式（值为1或-1）：

右和左helical算符可以写为（值为1或0）：

Helicity不是洛伦兹变换不变量。这是因为当观察者（参考系）比粒子运动还快时，方向相反，helicity值变号。

对于无质量（速度为光速）的粒子，helicity等于chirality，即。

3. 拓扑边缘态的chirality和helicity

以上是粒子物理中定义的chirality和helicity，描述的是粒子的性质。一个粒子既可以定义chirality，又可以定义helicity，相互不矛盾。对于无质量的粒子，chirality和helicity等价。对于有质量的粒子，chirality满足洛伦兹变换，但随时间不守恒，helicity不满足洛伦兹变换，但随时间是守恒的，两种定义各有优缺点。

在凝聚态物理中，拓扑边缘态的chirality和helicity的定义在意思上有相近的地方，但也不是完全相同。

量子霍尔（QH）体系中的边缘态称为chiral edge states。之所以这么命名，是因为在某个边缘上，电子只往一个方向运动，只存在一种Weyl chirality的电子。此外，这里的chirality也只是对于赝自旋来说，不是真自旋，赝自旋和动量相互绑定。chirality在外尔/狄拉克半金属和谷电子学中也比较常见，有时是指真自旋。

量子自旋霍尔（QSH）体系的边缘态helical edge states是由文献[9]首次命名。之所以这么命名，是因为在某个边缘上，自旋向上和自旋向下分别往不同的方向运动，直观上的意思和helicity的定义更为相近。

在拓扑边缘态上，这两种表述是做了直接的区分，分别表示量子霍尔（QH）态和量子自旋霍尔（QSH）态。

参考资料：

[1] 狄拉克矩阵 Dirac Matrix

[2] Chirality (physics) - Wikipedia

[3] Helicity (particle physics) - Wikipedia

[4] Chirality vs Helicity (quantumfieldtheory.info)

[5] Dirac, Majorana, and Weyl fermions: American Journal of Physics: Vol 79, No 5 (scitation.org)

[6] Schwartz, Matthew D. (2014). "Chirality, helicity and spin". Quantum field theory and the standard model. Cambridge: Cambridge University Press. pp. 185–187.

[7] Rev. Mod. Phys. 83, 1057 (2011) - Topological insulators and superconductors (aps.org)

[8] Rev. Mod. Phys. 82, 3045 (2010) - Colloquium: Topological insulators (aps.org)

[9] Phys. Rev. Lett. 96, 106401 (2006) - Helical Liquid and the Edge of Quantum Spin Hall Systems (aps.org)

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