纯态、混合态、纠缠态

本篇内容主要参考国科大金彪老师“高等量子力学”手稿课件。

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一、纯态

一、纯态

1. 纯态： $|\psi(t)\rangle$ （可以是本征态，也可以是叠加态）

2. 纯态密度算符： $\hat{\rho}(t)=|\psi(t)\rangle \langle \psi(t)|$

3. 算符 $\hat{B}$ 的平均值：

$\begin{aligned}\langle\hat{B}\rangle&=\langle \psi(t)| \hat{B} |\psi(t) \rangle\\&=\sum_{n}\langle \psi(t)| \hat{B} | a_n\rangle \langle a_n |\psi(t) \rangle\\&=\sum_{n} \langle a_n |\psi(t) \rangle \langle \psi(t)| \hat{B} | a_n\rangle\\&=\sum_{n} \langle a_n |\hat{\rho}(t)\hat{B}|a_n \rangle \\&=\mathrm{Tr}[\hat{\rho}(t)\hat{B}]\end{aligned}$

4. 性质： $\mathrm{Tr}[\hat{\rho}(t)]=1$ ，证明：

$\begin{aligned}\mathrm{Tr}[\hat{\rho}(t)]&=\sum_n \langle a_{n}|\hat{\rho}(t)|a_n\rangle \\&=\sum_n \langle a_{n}|\psi(t)\rangle \langle \psi(t)|a_n\rangle\\&=\langle \psi(t)|a_n\rangle \langle a_{n}|\psi(t)\rangle\\&=\langle \psi(t) | \psi(t) \rangle =1\end{aligned}$

5. 性质： $\mathrm{Tr}[\hat{\rho}^{2}(t)]=1$ ，证明：

$\hat{\rho}^{2}=(|\psi(t)\rangle \langle \psi(t)|)(|\psi(t)\rangle \langle \psi(t)|)=|\psi(t)\rangle \langle \psi(t)|=\hat{\rho}$

二、混合态

1. 混合态中的参与态： $|\psi_1(t)\rangle$ , $|\psi_2(t)\rangle$ , ..., $|\psi_N(t)\rangle$ ；权重： $P_1$ , $P_2$ , ..., $P_N$ 。

2. 混合态密度算符： $\hat{\rho}(t)=\sum_{i=1}^{N} P_i |\psi_i(t)\rangle \langle \psi_i(t)|$

3. 算符 $\hat{B}$ 的平均值： $\langle\hat{B}\rangle=\mathrm{Tr}[\hat{\rho}(t)\hat{B}]$ ，和纯态相同。证明过程类似，略。

4. 性质： $\mathrm{Tr}[\hat{\rho}(t)]=1$ ，和纯态相同。证明过程类似，略。

5. 性质： $\hat{\rho}^2\neq\hat{\rho}$ ，证明：

$\begin{aligned}\hat{\rho}^2&=(\sum_{l}P_l |\psi_l\rangle \langle \psi_l|) (\sum_{k}P_k |\psi_k\rangle \langle \psi_k|)\\&=\sum_l \sum_k P_l P_k |\psi_l\rangle \langle \psi_l|\psi_k\rangle \langle \psi_k|\end{aligned}$

以 $\langle \psi_l|\psi_k\rangle=\delta_{lk}$ 的情况为例子： $\hat{\rho}^2=\sum_l P_l^2 |\psi_l\rangle \langle \psi_l| \neq \hat{\rho}$

6. 性质： $\mathrm{Tr}[\hat{\rho}^2(t)]<1$ 。

证明略。在证明过程中要用到Schwartz不等式： $| \langle \psi_k|\psi_l \rangle|^{2}<\langle \psi_k|\psi_k \rangle \langle \psi_l|\psi_l \rangle=1$ 。

7. 需要强调的是：叠加态是纯态，不是混合态。混合态的概念稍微比较不好理解，在之后的纠缠态约化密度矩阵那边会用到混合态的概念。

三、纯态和混合态的例子

1. 纯态： $|\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}|\uparrow\rangle+\frac{1}{\sqrt{2}}|\downarrow\rangle$

纯态密度算符：

$\hat{\rho}=|\psi\rangle \langle \psi|=\frac{1}{2}[|\uparrow\rangle\langle\uparrow|+|\uparrow\rangle\langle\downarrow| +|\downarrow\rangle\langle\uparrow|+|\downarrow\rangle\langle\downarrow|]$

密度矩阵：

$\rho=\frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$

显然有： $\rho^{\dagger}=\rho$ ； $\mathrm{Tr}[\rho]=1$ ； $\rho^{2}=\rho$ 。

2. 混合态：参与态 $|\uparrow\rangle$ ， $|\downarrow\rangle$ ；权重 $P_1=\frac{1}{2}$ , $P_2=\frac{1}{2}$ 。

混合态密度算符：

$\hat{\rho}=\frac{1}{2}|\uparrow\rangle\langle\uparrow|+\frac{1}{2}|\downarrow\rangle\langle\downarrow|$

密度矩阵：

$\rho=\frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

显然有： $\rho^{\dagger}=\rho$ ； $\mathrm{Tr}[\rho]=1$ ； $\rho^{2}=\frac{1}{2}\rho\neq \rho$ ； $\mathrm{Tr}[\rho^2]=\frac{1}{4}<1$ 。

四、复合系统

1. 复合系统的基矢量由直积（张量积）构成： $\{|u_i(1)\rangle \otimes |\nu_k(2)\rangle \}$ ，维度为 $N\timesM$ 维。

3. 基矢量的正交性： $(\langle u_j | \otimes \langle\nu_l |)(|u_i\rangle \otimes |\nu_k\rangle)=\delta_{ji}\delta_{lk}$

4. 基矢量的完备性： $\sum_{ik}(|u_i\rangle \otimes |\nu_k\rangle)(\langle u_i | \otimes \langle\nu_k |)=1$

5. 部分内积： $\langle u_j | (|u_i\rangle \otimes |\nu_k\rangle) = \langle u_j |u_i\rangle |\nu_k\rangle = \delta_{ij}|\nu_k\rangle$

7. 复合系统的算符： $\hat{A}(1)\otimes \hat{B}(2)$

$\hat{A}(1)\otimes \hat{B}(2) |u_i(1)\rangle \otimes |\nu_k(2)\rangle \equiv \hat{A}(1)|u_i(1)\rangle \otimes \hat{B}(2)|\nu_k(2)\rangle$

8. 算符 $\hat{A}(1)$ 在直积空间中的表示： $\hat{A}(1)\otimes \hat{I}(2)$ ，其中 $\hat{I}(2)$ 为第二子空间的单位算符。类似： $\hat{B}(2)\Rightarrow \hat{I}(1) \otimes \hat{B}(2)$

9. 复合系统的态矢量（纯态）：

$\begin{aligned}|\psi(1,2)\rangle=&\sum_{ik}(|u_i\rangle \otimes |\nu_k\rangle)(\langle u_i | \otimes \langle\nu_k |\psi(1,2)\rangle\\&=\sum_{ik} c_{ik}(1,2) |u_i\rangle \otimes |\nu_k\rangle\end{aligned}$

10. 归一性： $\langle \psi(1,2)|\psi(1,2)\rangle =1 \Rightarrow \sum_{ik} |c_{ik}(1,2)|^2=1$

11. 密度算符： $\hat{\rho}(1,2)=|\psi(1,2)\rangle\langle \psi(1,2)|$

12. 约化密度算符：略

五、纠缠态

$|\psi(1,2)\rangle$ 可分成两大类：

1. 可分离态： $c_{ik}(1,2)=c_i(1)c_k(2)$ ，即： $|\psi(1,2)\rangle=(\sum_{i} c_i(1) |u_i\rangle) \otimes (\sum_{k} c_k(2) |\nu_i\rangle)$

2. 纠缠态： $c_{ik}(1,2)\neq c_i(1)c_k(2)$

判断 $|\psi(1,2)\rangle$ 是可分离态还是纠缠态，需要考察约化密度矩阵是否是混合态密度矩阵。具体内容略。

六、纠缠态的例子

Bell基：

更多参考：

[1] 关于纯态、混合态的个人理解

[2] 量子态和密度矩阵，迹和偏迹的数学表示

[3] Quantum entanglement - Wikipedia

[4] Bell state - Wikipedia

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2 thoughts on “纯态、混合态、纠缠态”

KY2023&1&11说道：

2023年1月11日 20:54

我想问问纠缠态就一定是纯态吗？我看到有的地方说对于纠缠态整体而言是纯态，而其子系统可以是混合态。有的地方又说纠缠态可以分为纠缠纯态和纠缠混态。这个问题我想不明白

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1. guanjihuan说道：
  
  2023年1月12日 03:21
  
  对于完全分离的独立的系统，“纠缠态整体而言是纯态，而其子系统可以是混合态”这句话是对的，纠缠态子系统的约化密度矩阵为混合态。
  你说的“纠缠纯态和纠缠混态”的概念我不是很熟悉，没怎么了解，可以看看教科书或文献中怎么定义。我猜区别可能是指这个纠缠态是否和其他子系统有发生纠缠，没有和其他子系统发生纠缠的是纠缠纯态，有和其他子系统发生纠缠的是纠缠混态？我这个理解不一定对，供参考。
  
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