用粒子数算符求解朗道能级

这是之前的两篇：二维电子气的朗道能级、狄拉克电子朗道能级的根号N分布。

本篇用粒子数算符求解朗道能级。

1. 二维电子气的朗道能级

以二维电子气为例，哈密顿量为：

$H=\frac{p_x^2+p_y^2}{2m}$

参考之前的博文，在磁场下：

$H=\frac{(p_x+eBy)^2+p_y^2}{2m}$

存在关系：

$[\Pi_x, \Pi_y]=[p_x+eBy, p_y]=eB[y, p_y]=ieB\hbar$

定义：

$a=\sqrt{\frac{1}{2eB\hbar}}[(p_x+eBy)+ip_y]$

$a^{\dagger}=\sqrt{\frac{1}{2eB\hbar}}[(p_x+eBy)-ip_y]$

$a$ 和 $a^{\dagger}$ 满足对易关系：

$[a, a^{\dagger}]=\frac{1}{2eB\hbar}[\Pi_x+i \Pi_y, \Pi_x-i\Pi_y]=\frac{1}{2eB\hbar}(-i[\Pi_x, \Pi_y]+i[\Pi_y, \Pi_x])=1$

$a^{\dagger}a$ 为粒子数算符，展开写成：

$\begin{aligned} a^{\dagger}a&=\frac{1}{2eB\hbar}[(p_x+eBy)-ip_y][(p_x+eBy)+ip_y]\\&=\frac{1}{2eB\hbar}[(p_x+eBy)^2+p_y^2-eB\hbar]\\&=\frac{1}{2eB\hbar}[(p_x+eBy)^2+p_y^2]-\frac{1}{2}\end{aligned}$

哈密顿量可以由 $a^{\dagger}a$ 来表示：

$H=\frac{1}{2m}[(p_x+eBy)^2+p_y^2]=\frac{eB\hbar}{m}\frac{1}{2eB\hbar}[(p_x+eBy)^2+p_y^2]=\hbar \omega (a^{\dagger}a+\frac{1}{2})$

其中， $\omega=\frac{eB}{m}$ 。于是，朗道能级为： $E=\hbar \omega (n+\frac{1}{2})$

2. 狄拉克费米子的朗道能级

狄拉克电子最小哈密顿量：

$H=v_F \hbar (k_x \sigma_x+k_y \sigma_y)$

参考之前的博文，在磁场下：

$v_F \begin{pmatrix}0 & p_x+eBy-i p_y \\p_x+eBy+i p_y & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}\psi_A \\ \psi_B \end{pmatrix}=E \begin{pmatrix}\psi_A \\ \psi_B \end{pmatrix}$

同上，定义：

$a=\sqrt{\frac{1}{2eB\hbar}}[(p_x+eBy)+ip_y]$

$a^{\dagger}=\sqrt{\frac{1}{2eB\hbar}}[(p_x+eBy)-ip_y]$

于是有：

$v_F \sqrt{2eB\hbar} \begin{pmatrix}0 & a^{\dagger} \\a & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}\psi_A \\ \psi_B \end{pmatrix}=E \begin{pmatrix}\psi_A \\ \psi_B \end{pmatrix}$