石墨烯紧束缚模型到低能有效模型的推导

1. 石墨烯紧束缚模型

这是之前的两篇：

石墨烯示意图为[1]：

石墨烯紧束缚模型在倒空间的形式（晶格常数为1，原子间距为 $1/\sqrt{3}$ ）：

$H=\sum_{k} \begin{pmatrix}|\mathbf{k}, A\rangle |\mathbf{k}, B\rangle\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 & f(\mathbf{k})\\f^{*}(\mathbf{k}) & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\langle \mathbf{k}, A| \\\langle \mathbf{k}, B|\end{pmatrix}$

其中， $f(\mathbf{k})=1+\mathrm{exp}(-\frac{\sqrt{3}i}{2}k_x+\frac{i}{2}k_y)}+\mathrm{exp}(-\frac{\sqrt{3}i}{2}k_x-\frac{i}{2}k_y)}$

以上的表达式是以元胞为单元进行的傅里叶变换[2,3]。如果以原子为单元， $f(\mathbf{k})$ 的表达式写为：

$f(\mathbf{k})=\mathrm{exp}(\frac{i}{\sqrt{3}}k_x)+\mathrm{exp}(-\frac{i}{2\sqrt{3}}k_x+\frac{i}{2}k_y)}+\mathrm{exp}(-\frac{i}{2\sqrt{3}}k_x-\frac{i}{2}k_y)}$

2. 石墨烯低能有效模型

接着把石墨烯紧束缚模型在狄拉克点附近展开，可以得到狄拉克点附近的低能有效模型[1]。

石墨烯倒格子示意图为[1]：

找到两个狄拉克点的位置，为 $\mathbf{K}=(0, \frac{4}{3}\pi)$ 和 $\mathbf{K}'=(0, -\frac{4}{3}\pi)$ 。

以 $\mathbf{K}$ 谷为例，定义 $\mathbf{q}=\mathbf{k}-\mathbf{K}$ ，在 $\mathbf{q}=0$ 附近泰勒展开。参考"常用的泰勒近似"中的二元函数泰勒展开。

对表达式 $f(\mathbf{k})=1+\mathrm{exp}(-\frac{\sqrt{3}i}{2}k_x+\frac{i}{2}k_y)}+\mathrm{exp}(-\frac{\sqrt{3}i}{2}k_x-\frac{i}{2}k_y)}$ 泰勒展开：

$\begin{aligned} f(\mathbf{k}) &\approx f(\mathbf{K})+q_x \frac{\partial}{\partial k_x}f(\mathbf{K})+q_y \frac{\partial}{\partial k_y}f(\mathbf{K})\\&=0+q_x[-\frac{\sqrt{3}i}{2}\mathrm{exp}(\frac{i}{2}\frac{4}{3}\pi)-\frac{\sqrt{3}i}{2}\mathrm{exp}(-\frac{i}{2}\frac{4}{3}\pi) ]\\& \quad \quad +q_y[\frac{i}{2}\mathrm{exp}(\frac{i}{2}\frac{4}{3}\pi)-\frac{i}{2}\mathrm{exp}(-\frac{i}{2}\frac{4}{3}\pi) ]\\&=\frac{\sqrt{3}i}{2}q_x-\frac{\sqrt{3}}{2}q_y\end{aligned}$