量子力学中的三个绘景

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一、薛定谔绘景

二、海森堡绘景

三、相互作用绘景

一、薛定谔绘景

在外场 $\hat{V}(t)$ 的作用下，哈密顿量 $\hat{H}(t)$ 随时间变化。

1. 态矢量

态矢量： $|\psi_S(t)\rangle =|\psi(t)\rangle$

薛定谔方程： $i\hbar \frac{\partial}{\partial t}|\psi(t)\rangle = \hat{H}(t) |\psi(t)\rangle$

2. 算符

在薛定谔绘景下，规定算符 $\hat{A}_S(t)$ （除 $\hat{V}(t)$ 外）不随时间变化，即： $\frac{\partial}{\partial t} \hat{A}_S(t) =0$

3. 算符平均值

算符 $\hat{A}_S(t)$ 的平均值为： $\langle \hat{A}_S(t) \rangle = \langle\psi_S(t)| \hat{A}_S(t) |\psi_S(t)\rangle$

当该平均值为守恒量时，有： $i\hbar \frac{\partial}{\partial t} \langle \hat{A}_S(t) \rangle = \langle\psi_S(t)| \big\{ [\hat{A}_S(t), \hat{H}(t)]+i\hbar \frac{\partial}{\partial t} \hat{A}_S(t)]\big\}|\psi_S(t)\rangle=0$

于是得到： $[\hat{A}_S(t), \hat{H}(t)]=0$

4. 表象基矢

以 $\hat{A}$ 作为表象，基矢为 $\{|a_n\rangle\}$ 。

本征方程： $\hat{A}|a_n\rangle = a_n |a_n\rangle$

正交归一： $\langle a_{n'}|a_n\rangle=\delta_{n'n} \quad \sum_{n}|a_n\rangle\langle a_n|=1$

在薛定谔绘景下，态矢量随时间变化，基矢不随时间变化。

二、海森堡绘景

1. 态矢量

态矢量： $|\psi_H(t)\rangle =\hat{U}^{\dagger}(t, t_0)|\psi_S(t)\rangle$

当 $t=t_0$ 时， $|\psi_H(t_0)\rangle =|\psi_S(t_0)\rangle$

逆关系： $|\psi_S(t)\rangle =\hat{U}(t, t_0)|\psi_H(t)\rangle$

态矢量关系使用两次： $|\psi_H(t)\rangle =\hat{U}^{\dagger}(t, t_0)\hat{U}(t, t_0)|\psi_H(t)\rangle$

得到 $\hat{U}^{\dagger}(t, t_0)\hat{U}(t, t_0)=1$

在薛定谔绘景下，规定态矢量不随时间变化，即： $\frac{\partial}{\partial t} |\psi_H(t)\rangle = 0$

2. 算符

算符： $\hat{A}_H(t)=\hat{U}^{\dagger}(t, t_0)\hat{A}_S(t)\hat{U}(t, t_0)$

当 $t=t_0$ 时， $\hat{A}_H(t_0)=\hat{A}_S(t_0)$

算符随时间演化：

$\begin{aligned}i\hbar \frac{\partial}{\partial t}\hat{A}_H(t) &=i\hbar \frac{\partial}{\partial t}\big[\hat{U}^{\dagger}(t, t_0)\hat{A}_S(t)\hat{U}(t, t_0)\big]\\&=[\hat{A}_H(t), \hat{H}_H(t)]+i\hbar[\frac{\partial}{\partial t}\hat{A}_S(t)]_H\end{aligned}$

其中：

$\hat{H}_H(t)=\hat{U}^{\dagger}(t, t_0)\hat{H}(t)\hat{U}(t, t_0)$

$[\frac{\partial}{\partial t}\hat{A}_S(t)]_H=\hat{U}^{\dagger}(t, t_0)[\frac{\partial}{\partial t}\hat{A}_S(t)]\hat{U}(t, t_0)$

算符随时间演化的方程称为海森堡方程，初始条件为： $\hat{A}_H(t_0)=\hat{A}_S(t_0)$ 。

3. 算符平均值

算符 $\hat{A}_H(t)$ 的平均值为：

$\begin{aligned}\langle \hat{A}_H(t) \rangle &=\langle \psi_H(t)| \hat{A}_H(t) |\psi_H(t)\rangle\\&=\langle \psi_S(t)| \hat{U}(t, t_0)\hat{U}^{\dagger}(t, t_0)\hat{A}_S(t) \hat{U}(t, t_0)\hat{U}^{\dagger}(t, t_0)|\psi_S(t)\rangle\\&=\langle \psi_S(t)| \hat{A}_S(t) |\psi_S(t)\rangle\end{aligned}$

4. 表象基矢

以 $\hat{A}$ 作为表象，基矢为 $\{|a_n(t)\rangle_H\}$ 。

本征方程： $\hat{A}_H(t)|a_n(t)\rangle_H=a_n |a_n(t)\rangle_H$

其中： $|a_n(t)\rangle_H=\hat{U}^{\dagger}(t, t_0)|a_n\rangle$

之所以本征值是 $a_n$ ，这是因为：

$\begin{aligned} \hat{A}_H(t)|a_n(t)\rangle_H &=\hat{U}^{\dagger}(t, t_0)\hat{A}_S(t)\hat{U}(t, t_0)\hat{U}^{\dagger}(t, t_0)|a_n\rangle \\&=a_n\hat{U}^{\dagger}(t, t_0)|a_n\rangle\\&=a_n |a_n(t)\rangle_H \end{aligned}$

正交归一： $_H \langle a_{n'}(t)|a_n(t)\rangle_H=\delta_{n'n} \quad \sum_{n}|a_n(t)\rangle_H_H\langle a_n(t)|=1$

在海森堡绘景下，态不随时间变化，基矢量随时间变化。

三、相互作用绘景

哈密顿量： $\hat{H}(t)=\hat{H}_0+\hat{V}(t)$

1. 态矢量

态矢量： $|\psi_I(t)\rangle =\hat{U}_0^{\dagger}(t, t_0)|\psi_S(t)\rangle$

其中， $\hat{U}_0=e^{-\frac{i}{\hbar}\hat{H}_0(t-t_0)}$ ，用到的未受到微扰的哈密顿量。

当 $t=t_0$ 时， $|\psi_I(t_0)\rangle=|\psi_S(t_0)\rangle$

态随着时间的演化：

$\begin{aligned}i\hbar \frac{\partial}{\partial t}|\psi_I(t)\rangle&=i\hbar \frac{\partial}{\partial t} (\hat{U}_0^{\dagger}(t, t_0)|\psi_S(t)\rangle) \\&=(H-H_0)\hat{U}_0^{\dagger}|\psi_S(t)\rangle=\hat{V}(t)|\psi_I(t)\rangle\end{aligned}$

态随着时间的演化与微扰 $\hat{V}(t)$ 有关。

初始条件： $|\psi_I(t_0)\rangle=|\psi_S(t_0)\rangle$

2. 算符

算符： $\hat{A}_I(t)=\hat{U}_0^{\dagger}(t, t_0)\hat{A}_S(t)\hat{U}_0(t, t_0)$

当 $t=t_0$ 时， $\hat{A}_I(t_0)=\hat{A}_S(t_0)$

算符随时间演化：

$\begin{aligned}i\hbar \frac{\partial}{\partial t}\hat{A}_I(t) &=i\hbar \frac{\partial}{\partial t}\big[\hat{U}_0^{\dagger}(t, t_0)\hat{A}_S(t)\hat{U}_0(t, t_0)\big]\\&=[\hat{A}_I(t), (\hat{H}_0(t))_I]+i\hbar[\frac{\partial}{\partial t}\hat{A}_S(t)]_I\end{aligned}$

其中：

$(\hat{H}_0(t))_I=\hat{U}_0^{\dagger}(t, t_0)\hat{H}_0(t)\hat{U}_0(t, t_0)$

$[\frac{\partial}{\partial t}\hat{A}_S(t)]_I=\hat{U}_0^{\dagger}(t, t_0)[\frac{\partial}{\partial t}\hat{A}_S(t)]\hat{U}_0(t, t_0)$

算符随时间演化与未受到微扰的哈密顿量 $\hat{H}_0$ 有关。

初始条件： $\hat{A}_I(t_0)=\hat{A}_S(t_0)$

3. 算符平均值

算符 $\hat{A}_I(t)$ 的平均值为：

$\begin{aligned}\langle \hat{A}_I(t) \rangle &=\langle \psi_I(t)| \hat{A}_I(t) |\psi_I(t)\rangle\\&=\langle \psi_S(t)| \hat{U}_0(t, t_0)\hat{U}_0^{\dagger}(t, t_0)\hat{A}_S(t) \hat{U}_0(t, t_0)\hat{U}_0^{\dagger}(t, t_0)|\psi_S(t)\rangle\\&=\langle \psi_S(t)| \hat{A}_S(t) |\psi_S(t)\rangle\end{aligned}$