在三种音律中音阶的频率比例关系

在乐理中有以下的音程概念：

1. 极完全协和音程：纯一度，纯八度
2. 完全协和音程：纯四度，纯五度
3. 不完全协和音程：大小三，大小六
4. 极不协和音程：大小二、大小七以及所有的增，减，倍增，倍减音程。

这里将给出在三种音律中音阶的频率比例关系，从而可以直观了解不同音程给人以不同感受的物理机制。

1. 五度相生律（或称为三分损益律）

管仲的三分损益律（中国）产生五个音：“宫、商、角、徵、羽”（读音为gōng shāng jué zhǐ yǔ），类似简谱中的1、2、3、5、6。即宫等于1（Do），商等于2（Re），角等于3（Mi），徵等于5（Sol），羽等于6（La），亦称作五音。可参考：音乐也有科学道理？哆唻咪到底是咋定的？李永乐老师讲乐理知识。

毕达哥拉斯的五度相生律（西方）规定五度音的频率之比为2:3，其他音程都由若干个五度产生。这里讲五度相生律的方法。

假设Do（1，宫）的频率为，向上推五度有：

• Sol（5，徵）的频率为。
• Re（2，商）为，超过了一个八度的频率，因为一个八度的频率比刚好是2倍关系，所以Re的频率为。
• La（6，羽）的频率为。
• Mi（3，角）为，超过了一个八度的频率，因为一个八度的频率比刚好是2倍关系，所以Mi的频率为。
• Ti（7）的频率为。

向下推五度有：

• Fa（4）为，低于，因为一个八度的频率比刚好是2倍关系，所以Fa的频率为。
• 或（或）为，低于，因为一个八度的频率比刚好是2倍关系，所以或的频率为。
• 或（或）的频率为。
• 或（或）为，低于，因为一个八度的频率比刚好是2倍关系，所以或的频率为。
• 或（或）的频率为。
• 或（或）的频率为，低于，因为一个八度的频率比刚好是2倍关系，所以或的频率为。

总结为动图：

该图片来源于参考资料[7]。

总结为表格：

音阶

频率

2. 纯律

纯律与五度相生律不同的是，除了规定纯五度音程频率之比为2：3以外，同时规定构成大三度的两个音频率比为4：5，这样制定出各个音高。这时候频率可以变成更加简单的整数比，声音听起来会更“纯”一点。

由于既考虑了比值2：3，又考虑了比值4：5，所以产生12音阶的纯律会比较复杂一些，参照：知乎：为什么找不到 12 音阶的纯律？。

这里给出7音阶的纯律（不详细推导了，有变化的是，，三个音）：

音阶
五度相生律的频率
纯律的频率

3. 十二平均律

上面两种音律都不好转调，当换一个调后比值会全乱掉，而十二平均律就没有转调这个问题。将频率和频率之间的区域按比例十二等分，相邻的两个音的频率倍数为：。

总结为表格：

音阶

频率

4. 七个音阶的频率数值

Python代码为：

print('音阶','  ','五度相生律','      ','纯律','      ','十二平均律')
print('Do %13.5f  %13.5f  %13.5f'%(1,1,1))
print('Re %13.5f  %13.5f  %13.5f'%(9/8,9/8,2**(2/12)))
print('Mi %13.5f  %13.5f  %13.5f'%(81/64,5/4,2**(4/12)))
print('Fa %13.5f  %13.5f  %13.5f'%(4/3,4/3,2**(5/12)))
print('Sol%13.5f  %13.5f  %13.5f'%(3/2,3/2,2**(7/12)))
print('La %13.5f  %13.5f  %13.5f'%(27/16,5/3,2**(9/12)))
print('Ti %13.5f  %13.5f  %13.5f'%(243/128,15/8,2**(11/12)))
print('Do %13.5f  %13.5f  %13.5f'%(2,2,2))

运行结果为：

摘抄出来写成表格形式：

音阶	五度相生律	纯律	十二平均律
Do	1.00000	1.00000	1.00000
Re	1.12500	1.12500	1.12246
Mi	1.26562	1.25000	1.25992
Fa	1.33333	1.33333	1.33484
Sol	1.50000	1.50000	1.49831
La	1.68750	1.66667	1.68179
Ti	1.89844	1.87500	1.88775
Do	2.00000	2.00000	2.00000

5. 三种音律的对比图：

该图片来源于参考资料[7]

参考资料：

[1] 百度百科：协和音程

[2] 音律计算法比较及三种律制音阶音分值的简易计算法

[3] 百度百科：宫商角徵羽

[4] 百度百科：三分损益法

[5] 百度百科：纯律

[6] 百度百科：十二平均律

[7] 知乎：请分别说明五度相生律、三分损益法、纯律、十二平均律这四种律制的优点及缺点？

[8] 知乎：纯律、五度相生律和十二平均律是如何产生的？三种律制之间有何关系？

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