Haldane模型哈密顿量与能带图（附Python代码）

Haldane（霍尔丹）模型PRL原文：Model for a Quantum Hall Effect without Landau Levels: Condensed-Matter Realization of the "Parity Anomaly"。

量子霍尔效应在某种意义上是拓扑绝缘体（陈数不为零；体态绝缘，边态导电），但是需要外加强磁场。而Haldane模型是第一个在理论上提出不需要磁场的拓扑绝缘体。

Haldane哈密顿量：

在以上表达式中，用到了以下公式：

• exp(ix)+exp(-ix)=2cos(x)
• cos(x+y)= cos(x)cos(y)-sin(x)sin(y)
• cos(x-y) = cos(x)cos(y)+sin(x)sin(y)

如果只考虑最近邻跃迁 t1，那么跟最简单的石墨烯模型是一样的。在这个哈密顿量中加上了次近邻 t2，而且次近邻是带有相位phi的（有一个方向为正）。引入带相位的次近邻，打破了时间反演对称性，让陈拓扑绝缘体成为了可能（可证明具有时间反演对称的体系，陈数为零）。

模型图为：

这里的模型图来源于这篇文献：Numerical study of disorder on the orbital magnetization in two dimensions。

下面是Python代码，用于画出二维Haldane模型的能带：

"""
This code is supported by the website: https://www.guanjihuan.com
The newest version of this code is on the web page: https://www.guanjihuan.com/archives/410
"""

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from math import * 
import cmath 
import functools


def hamiltonian(k1, k2, M, t1, t2, phi, a=1/sqrt(3)):  # Haldane哈密顿量(a为原子间距，不赋值的话默认为1/sqrt(3)）
    # 初始化为零矩阵
    h0 = np.zeros((2, 2), dtype=complex)
    h1 = np.zeros((2, 2), dtype=complex)
    h2 = np.zeros((2, 2), dtype=complex)

    # 质量项(mass term)，用于打开带隙
    h0[0, 0] = M
    h0[1, 1] = -M

    # 最近邻项
    h1[1, 0] = t1*(cmath.exp(1j*k2*a)+cmath.exp(1j*sqrt(3)/2*k1*a-1j/2*k2*a)+cmath.exp(-1j*sqrt(3)/2*k1*a-1j/2*k2*a))
    h1[0, 1] = h1[1, 0].conj()

    # 最近邻项也可写成这种形式
    # h1[1, 0] = t1+t1*cmath.exp(1j*sqrt(3)/2*k1*a-1j*3/2*k2*a)+t1*cmath.exp(-1j*sqrt(3)/2*k1*a-1j*3/2*k2*a)
    # h1[0, 1] = h1[1, 0].conj()

    # 次近邻项
    h2[0, 0] = t2*cmath.exp(-1j*phi)*(cmath.exp(1j*sqrt(3)*k1*a)+cmath.exp(-1j*sqrt(3)/2*k1*a+1j*3/2*k2*a)+cmath.exp(-1j*sqrt(3)/2*k1*a-1j*3/2*k2*a))
    h2[1, 1] = t2*cmath.exp(1j*phi)*(cmath.exp(1j*sqrt(3)*k1*a)+cmath.exp(-1j*sqrt(3)/2*k1*a+1j*3/2*k2*a)+cmath.exp(-1j*sqrt(3)/2*k1*a-1j*3/2*k2*a))

    matrix = h0 + h1 + h2 + h2.transpose().conj()
    return matrix


def main():
    hamiltonian0 = functools.partial(hamiltonian, M=2/3, t1=1, t2=1/3, phi=pi/4, a=1/sqrt(3))
    k1 = np.linspace(-2*pi, 2*pi, 500)
    k2 = np.linspace(-2*pi, 2*pi, 500)
    plot_bands_two_dimension(k1, k2, hamiltonian0)


def plot_bands_two_dimension(k1, k2, hamiltonian):
    from matplotlib import cm
    dim = hamiltonian(0, 0).shape[0]
    dim1 = k1.shape[0]
    dim2 = k2.shape[0]
    eigenvalue_k = np.zeros((dim2, dim1, dim))
    i0 = 0
    for k10 in k1:
        j0 = 0
        for k20 in k2:
            matrix0 = hamiltonian(k10, k20)
            eigenvalue, eigenvector = np.linalg.eig(matrix0)
            eigenvalue_k[j0, i0, :] = np.sort(np.real(eigenvalue[:]))
            j0 += 1
        i0 += 1
    fig = plt.figure()
    ax = fig.gca(projection='3d')
    k1, k2 = np.meshgrid(k1, k2)
    for dim0 in range(dim):
        ax.plot_surface(k1, k2, eigenvalue_k[:, :, dim0], cmap=cm.coolwarm, linewidth=0, antialiased=False)
    plt.show()


if __name__ == '__main__':
    main()

画出的能带图为：

当参数设为M=0, t1=1, t2=0, phi=0，画出的是最简单的石墨烯模型能带。这里画出的Haldane能带图也只是看到是绝缘体，是看不出来拓扑的。是否拓扑要通过计算陈数来判断。关于Haldane模型陈数的计算，参考这一篇：Haldane模型中陈数的计算（附Python代码）。

下面计算准一维（条带）的情况。在拓扑时，能带中会出现交叉的边缘态。准一维的情况可参考：准一维方格子能带图（附Python代码）、石墨烯哈密顿量与能带图（附Python代码）。

Python代码如下（这里只考虑Zigzag边的情形）：

"""
This code is supported by the website: https://www.guanjihuan.com
The newest version of this code is on the web page: https://www.guanjihuan.com/archives/410
"""

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from math import *
import cmath 
import functools


def hamiltonian(k, N, M, t1, t2, phi):  # Haldane哈密顿量（N是条带的宽度参数）
    # 初始化为零矩阵
    h00 = np.zeros((4*N, 4*N), dtype=complex)
    h01 = np.zeros((4*N, 4*N), dtype=complex)

    # 原胞内的跃迁h00
    for i in range(N):
        h00[i*4+0, i*4+0] = M
        h00[i*4+1, i*4+1] = -M
        h00[i*4+2, i*4+2] = M
        h00[i*4+3, i*4+3] = -M

        # 最近邻
        h00[i*4+0, i*4+1] = t1
        h00[i*4+1, i*4+0] = t1
        h00[i*4+1, i*4+2] = t1
        h00[i*4+2, i*4+1] = t1
        h00[i*4+2, i*4+3] = t1
        h00[i*4+3, i*4+2] = t1

        # 次近邻
        h00[i*4+0, i*4+2] = t2*cmath.exp(-1j*phi)
        h00[i*4+2, i*4+0] = h00[i*4+0, i*4+2].conj()
        h00[i*4+1, i*4+3] = t2*cmath.exp(-1j*phi)
        h00[i*4+3, i*4+1] = h00[i*4+1, i*4+3].conj()
    for i in range(N-1):
        # 最近邻
        h00[i*4+3, (i+1)*4+0] = t1
        h00[(i+1)*4+0, i*4+3] = t1

        # 次近邻
        h00[i*4+2, (i+1)*4+0] = t2*cmath.exp(1j*phi)
        h00[(i+1)*4+0, i*4+2] = h00[i*4+2, (i+1)*4+0].conj()
        h00[i*4+3, (i+1)*4+1] = t2*cmath.exp(1j*phi)
        h00[(i+1)*4+1, i*4+3] = h00[i*4+3, (i+1)*4+1].conj()

    # 原胞间的跃迁h01
    for i in range(N):
        # 最近邻
        h01[i*4+1, i*4+0] = t1
        h01[i*4+2, i*4+3] = t1

        # 次近邻
        h01[i*4+0, i*4+0] = t2*cmath.exp(1j*phi)
        h01[i*4+1, i*4+1] = t2*cmath.exp(-1j*phi)
        h01[i*4+2, i*4+2] = t2*cmath.exp(1j*phi)
        h01[i*4+3, i*4+3] = t2*cmath.exp(-1j*phi)

        h01[i*4+1, i*4+3] = t2*cmath.exp(1j*phi)
        h01[i*4+2, i*4+0] = t2*cmath.exp(-1j*phi)
        if i != 0:
            h01[i*4+1, (i-1)*4+3] = t2*cmath.exp(1j*phi)
    for i in range(N-1):
        h01[i*4+2, (i+1)*4+0] = t2*cmath.exp(-1j*phi)

    matrix = h00 + h01*cmath.exp(1j*k) + h01.transpose().conj()*cmath.exp(-1j*k)
    return matrix


def main():
    hamiltonian0 = functools.partial(hamiltonian, N=40, M=2/3, t1=1, t2=1/3, phi=pi/4)
    k = np.linspace(-pi, pi, 300)
    plot_bands_one_dimension(k, hamiltonian0)


def plot_bands_one_dimension(k, hamiltonian):
    dim = hamiltonian(0).shape[0]
    dim_k = k.shape[0]
    eigenvalue_k = np.zeros((dim_k, dim))
    i0 = 0
    for k0 in k:
        matrix0 = hamiltonian(k0)
        eigenvalue, eigenvector = np.linalg.eig(matrix0)
        eigenvalue_k[i0, :] = np.sort(np.real(eigenvalue[:]))
        i0 += 1
    for dim0 in range(dim):
        plt.plot(k, eigenvalue_k[:, dim0], '-k')
    plt.show()


if __name__ == '__main__':
    main()

画出的能带图为：

这里模型参数来源于这篇文献： Insulator/Chern-insulator transition in the Haldane model。

可以明显看到交叉的两条线，为拓扑边缘态。这个边缘态也叫做Chiral edge states，是受到拓扑保护的。一个直观的理解是：拓扑绝缘体的外面是真空，属于平庸的绝缘态。从拓扑态到平庸态，能带要发生反转。边缘态就是这个能带反转的过渡区域，具有交叉状的能带。

此外，用上“Kane-Mele模型的哈密顿量和能带图”博文中的模型参数（N=40, M=0, t1=1, t2=0.03, phi=pi/2），结果为：

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